Производная, УМФ

[SDmitry]

Цитата:

По определению. Берёте произвольную бесконечно гладкую $f$ с компактным носителем и считаете $-\int_{\mathbb R}|x|\cos x\cdot f'''(x)\,\mathrm dx$, разбив его на два ($x<0$ и $x>0$), чтобы избавиться от модуля, а затем по частям.

Тогда пробую этим пользоваться:

$(|x|cos(x))''' = \int _{-\infty}^{0}xcos(x)\varphi'''(x)dx - \int _{0}^{\infty}xcos(x)\varphi'''(x)dx = $

$= xcos(x)\varphi(x)\Big|_{-\infty}^{0} - xcos(x)\varphi(x)\Big|_{0}^{\inf} - \int _{-\infty}^{0} \varphi(x)dx + \int_{0}^{\inf}\varphi(x)dx = $

$= \int_{R}\Theta(x)\varphi(x)dx + \int _{R} (\Theta(x)-1)\varphi(x)dx = \int _{R} (2\Theta(x)-1)\varphi(x)dx = 2\Theta(x)-1$

Где я здесь ошибся? Что исправить?

[Otta]

SDmitry в сообщении #839414 писал(а):

Где я здесь ошибся? Что исправить?

В интегрировании по частям. После первой строки все править.

[SDmitry]

$(|x|cos(x))''' = \int _{-\infty}^{0}xcos(x)\varphi'''(x)dx - \int _{0}^{\infty}xcos(x)\varphi'''(x)dx = $

Вторая строка должна получиться такая:

$= xcos(x)\varphi''(x)\Big|_{-\infty}^{0} - xcos(x)\varphi''(x)\Big|_{0}^{\infty} - \int _{-\infty}^{0} (cosx-xsinx)\varphi''(x)dx + \int_{0}^{\inf}(cosx-xsinx)\varphi''(x)dx = $

Теперь можно идти дальше?

[Otta]

Вы возьмите только первый интеграл из первой строки. Понятно, они со вторым будут различаться только знаками и пределами интегрирования. Его сделаете полностью, а потом запишете результат и для второго тоже.

Кстати, уже в первой строке знаки расставлены неверно, я не заметила. А так - да, теперь лучше, пределы интегрирования подставляйте сразу, чтобы длинные выражения с собой не носить.

[SDmitry]

Цитата:

Кстати, уже в первой строке знаки расставлены неверно, я не заметила.

У первого минус, у второго плюс, увидел.

-- 21.03.2014, 21:12 --

Поправим знаки здесь:

$= - xcos(x)\varphi''(x)\Big|_{-\infty}^{0} + xcos(x)\varphi''(x)\Big|_{0}^{\infty} + \int _{-\infty}^{0} (cosx-xsinx)\varphi''(x)dx - \int_{0}^{\infty}(cosx-xsinx)\varphi''(x)dx = $

И пойдем дальше:

$= \int _{-\infty}^{0} (cosx-xsinx)\varphi''(x)dx - \int_{0}^{\infty}(cosx-xsinx)\varphi''(x)dx = $

$= - (cosx-xsinx)\varphi'(x)\Big|_{-\infty}^{0} + (cosx-xsinx)\varphi''(x)\Big|_{0}^{\infty} + \int _{-\infty}^{0} (-2sinx-xcosx)\varphi''(x)dx - \int_{0}^{\infty}(-2sinx-xcosx)\varphi''(x)dx = $

Все верно? Иду дальше?

[Otta]

Суть такая, в арифметику не вникала.

[SDmitry]

Ещё раз применив интегрирование по частям по такому же методу, получил:

$\int _{-\infty}^{0} (xsinx-3cosx)\varphi(x) - \int _{0}^{\infty} (xsinx-3cosx)\varphi(x) dx$

Производная получается $xsinx-3cosx$? Каков будет окончательный ответ?

-- 21.03.2014, 21:49 --

Ясно, что должны быть скачки в нуле, $h\delta(x-x_{0})=2\delta(x)$. $h$ - высота скачка, как нам говорили.

$signx(xsinx-3cosx)-2\delta'(x)$? К этому как бы мне прийти?

-- 21.03.2014, 22:04 --

$y'=y'_{cl}+\sum_{k} [f]_{x_{k}}\delta(x-x_k)$ - По Владимирову. Это верно? В таком случае для меня ответ и правда будет:

$signx(xsinx-3cosx)-2\delta'(x)$? Правильно?

[Otta]

1) Вы когда подставляли пределы интегрирования, где-то что-то потеряли по дороге.
2)

SDmitry в сообщении #839440 писал(а):

$\int _{-\infty}^{0} (x\sin x-3\cos x)\varphi(x) - \int _{0}^{\infty} (x\sin x-3\cos x)\varphi(x) dx$

Ну и как это собрать в один интеграл вида $(f,\varphi)=\int_R f(x)\varphi(x)\,dx$?

-- 22.03.2014, 00:08 --

SDmitry в сообщении #839440 писал(а):

$signx(xsinx-3cosx)-2\delta'(x)$? Правильно?

Правильно, но Вы уже получили это самостоятельно в Вашем частном случае. Почти.
А тут возникнут вопросы, как Вы посчитали третью производную. Например, откуда слагаемое $-2\delta'(x)$.

[SDmitry]

$\int _{-\infty}^{0} (x\sin x-3\cos x)\varphi(x)dx - \int _{0}^{\infty} (x\sin x-3\cos x)\varphi(x) dx$

dx не было, верно. Вроде бы ничего уйти лишнего не должно. Или я не вижу

То есть, в принципе, ответ получился честно и этого достаточно? Он вроде б как правильный

[Otta]

SDmitry в сообщении #839426 писал(а):

$(|x|\cos (x))''' = \int _{-\infty}^{0}x\cos (x)\varphi'''(x)dx - \int _{0}^{\infty}x\cos (x)\varphi'''(x)dx = $

Да, и $((|x|\cos x)''',\varphi(x))=$, все-таки.

SDmitry в сообщении #839451 писал(а):

Он вроде б как правильный

Ну че ж он правильный, производной дельты-то нет.
Аккуратней подставляйте границы интегрирования при применении формулы интегрирования по частям, плиз. Что у Вас, все занулилось?

SDmitry в сообщении #839429 писал(а):

$= - (cosx-xsinx)\varphi'(x)\Big|_{-\infty}^{0} + (cosx-xsinx)\varphi''(x)\Big|_{0}^{\infty} $

вот такого типа слагаемые чему равны?

(TeX)

\sin x \cos x

[SDmitry]

Цитата:

вот такого типа слагаемые чему равны?

Вот здесь и ошибка должна быть, они не должны обнуляться, а должны давать эту дельту давать. Так? Или тогда не соображу чему они равны? Дельта же!

[Otta]

Чиселки-то подставьте уже.

[SDmitry]

Не соображу, как туда подставлять эти бесконечности?

-- 21.03.2014, 22:30 --

Ну, такие пары должны же взаимно уничтожаться? Не могу понять

[Otta]

SDmitry в сообщении #839458 писал(а):

Не соображу, как туда подставлять эти бесконечности?

Вам должно быть что-то известно про функции $\varphi$. Какие они?

SDmitry в сообщении #839458 писал(а):

Ну, такие пары должны же взаимно уничтожаться? Не могу понять

Не обязаны.

[SDmitry]

Бесконечно гладкие функции. Какое-то свойство, не соображу?

-- 21.03.2014, 23:40 --

Ну финитные еще