Производная, УМФ

[SDmitry]

День добрый!

Возник вопрос к, казалось бы, простой задаче. Нужно сосчитать производную от этого:

$(|x|cos(x))'''$

Это из курса уравнений математической физики. Классическая производная здесь не работает, как говорит преподаватель. Как тут ещё можно её сосчитать? Куда копать?

[RIP]

По определению. Берёте произвольную бесконечно гладкую $f$ с компактным носителем и считаете $-\int_{\mathbb R}|x|\cos x\cdot f'''(x)\,\mathrm dx$, разбив его на два ($x<0$ и $x>0$), чтобы избавиться от модуля, а затем по частям.

[SDmitry]

Вот как. А где бы мне посмотреть определение? По каким словам оно ищется? Или в книжке какой? В методичке примеров нет таких.

Спасибо, стало уже чуть яснее. Только вопрос: а $f$, что в интеграле, это просто некоторая финитная функция? Её так и оставлять?

[ИСН]

Нет, выкидывать, равно как и весь интеграл. Да она вообще не нужна. Вы так не знаете, чему равна производная от модуля? а вторая?..

[мат-ламер]

Разложите Вашу функцию в ряд Тейлора. Первые два члена можно отбросить.

[RIP]

По словам типа "производная обобщённой функции" или "дифференцирование обобщённых функций". Здесь какой-то пример разобран: topic37327.html

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #839014 писал(а):

Первые два члена можно отбросить.

Это я ерунду написал.

[Munin]

Если для себя, а не на сдачу зачёта по УМФ, то можно отдельно рассмотреть "производную в нуле" (в малой его окрестности), и "не в нуле".

В нуле: косинус равен единице, на него не обращаем внимания. Получаем $(|x|)'=\operatorname{sgn}x,$ $(\operatorname{sgn}x)'=2\delta(x),$ $(\delta(x))'=\delta'(x).$

Не в нуле: функция чётная, значит, её третья производная будет нечётная. Дифференцируем на положительной полуоси: $(x\cos x)'=\cos x-x\sin x,$ и так далее. Получаем какую-то кракозябру $f(x).$

Потом собираем всё вместе (update: исправлена описка, см. post839235.html#p839235 ):
$\begin{cases}f(x),&\quad x>0\\2\delta'(x),&\quad x=0\\-f(-x),&\quad x<0\\\end{cases}\quad=\operatorname{sgn}x\cdot f(|x|)+2\delta'(x).$

-- 21.03.2014 00:45:11 --

Последнее слагаемое - это как раз "то место, где классическая производная не работает", потому что в УМФ оно может играть роль - например, послужить лишним источником каких-то волн.

[SDmitry]

Munin
Спасибо за столь подробное разъяснение! Буду разбираться теперь с ним.

$(|x|)'=\operatorname{sgn}x,$ $(\operatorname{sgn}x)'=2\delta(x),$ $(\delta(x))'=\delta'(x).$

Во второй производной двойка перед дельтой куда делась?

[Munin]

А зачем её писать всё время, она же коэффициент?
А вот списать её в конечный ответ я забыл, спасибо. Исправил.

[SDmitry]

Может ли такое решение годиться за строгий ответ к заданию? Или чем-то дополнить?

Кстати, немного непонятно, откуда во втором уравнении системы модуль в $f(|x|)$? Это обыкновенная производная, $f$ посчитали как третью производную, модуль пока не понял откуда.

Кстати, итоговая производная будет такова? Не понял просто вторую строку.
$\begin{cases}f(x),&\quad x>0\\\operatorname{sgn}x\cdot f(|x|)+2\delta'(x),&\quad x=0\\-f(x),&\quad x<0\\\end{cases}.$

В третьем уравнении нужен минус у аргумента? Нечетная функция - это вроде бы $f(x)=-f(x)$

И как бы в общем случае понять, в какой точке у обобщенной функции будут возникать дельты? Как я помню, это скачки. Там что-то вида $h\delta(x-x_{0})$

[Munin]

SDmitry в сообщении #839269 писал(а):

Может ли такое решение годиться за строгий ответ к заданию?

Я же сказал, низя, это только если вы для себя в выкладках что-то вычисляете, а не если несёте сдавать. Это способ "быстро и на коленке", а не "по всем правилам". Например, он не годится в общем случае, а годится только для функций с конечным количеством хорошо известных "плохих точек" (ну или не более чем счётным).

SDmitry в сообщении #839269 писал(а):

Кстати, немного непонятно, откуда во втором уравнении системы модуль в $f(|x|)$?

Вы неправильно прочитали. Это вся скобка равна тому, что написано после знака "равно". Может, лучше так записать:
$\left\{\begin{array}{ll}f(x),&\quad x>0\\2\delta'(x),&\quad x=0\\-f(-x),&\quad x<0\\\end{array}\right\}=\operatorname{sgn}x\cdot f(|x|)+2\delta'(x).$

Модуль нужен для того, чтобы фигурную скобку не записывать, а всё это вместе записать в строчку как одно выражение.

SDmitry в сообщении #839269 писал(а):

И как бы в общем случае понять, в какой точке у обобщенной функции будут возникать дельты? Как я помню, это скачки. Там что-то вида $h\delta(x-x_{0})$

Смотрите, если функция в какой-то точке бесконечно-дифференцируемая, никаких дельт возникать не будет никогда. Потому что все производные всегда конечны, а дельта - бесконечная.

Если функция не бесконечно-дифференцируемая (в какой-то точке, а в её выколотой окрестности - б.-д.), то дельта возникнет в той производной, в которой нет дифференцируемости. Если в предыдущей производной будет разрыв I рода, "скачок", типа функции Хевисайда. Если разрыв II рода, "как у гиперболы", то тут сложнее, одной дельтой дело не ограничится, и надо честно считать. Хотя бы для малой окрестности такого разрыва, где он ведёт себя как гипербола с известной степенью (или логарифм, или ещё как-то просто).

Попробуйте посчитать производные разных порядков для:
1) $\operatorname{sgn}x$
2) $|\operatorname{sgn}x|$
3) $(x+|x|)/2$
4) $\begin{cases}e^x,&x\geqslant 0\\x+1,&x<0\end{cases}$
5) $\begin{cases}e^{-1/x},&x\geqslant 0\\1,&x<0\end{cases}$
6) $e^{-1/|x|}$
7) $\sin|x|$
8) $\cos|x|$
чисто чтобы "руку набить".

[SDmitry]

Цитата:

Например, он не годится в общем случае, а годится только для функций с конечным количеством хорошо известных "плохих точек" (ну или не более чем счётным).

А каков самый честный и общий подход для подобных производных в принципе? Не сведется ли все к тому же разбиению на отрезки или лучи и вычислению на них. Не пойму.

Цитата:

По определению. Берёте произвольную бесконечно гладкую $f$ с компактным носителем и считаете $-\int_{\mathbb R}|x|\cos x\cdot f'''(x)\,\mathrm dx$, разбив его на два ($x<0$ и $x>0$), чтобы избавиться от модуля, а затем по частям.

Вот не пойму, здесь же я тоже делаю допущение, что знаю, что с нулем не все тут чисто. И так же разбиваю на два луча. То есть, этот способ тоже не совсем честен?

Как вообще быть здесь и в общем случае?

[Munin]

SDmitry в сообщении #839334 писал(а):

А каков самый честный и общий подход для подобных производных в принципе?

А вот это читайте сообщения RIP и учебники по функциональному анализу. Теория обобщённых функций - это раздел функционального анализа, точнее, одно из его частных приложений.

Впрочем, отдельно по этой теории тоже есть textbooks. Насколько мне помнится, Рихтмайер "Принципы современной математической физики", начало 1 тома. Там обобщённые функции называются распределениями, потому что это перевод - по-английски принят термин distributions, по-русски "обобщённые функции". Ещё советую поставить себе на полку четырёхтомник Рида-Саймона.

Ещё о литературе можно спросить в отдельной теме, или посмотреть уже существующие темы с рекомендациями по литературе.

[RIP]

SDmitry в сообщении #839334 писал(а):

Цитата:

По определению. Берёте произвольную бесконечно гладкую $f$ с компактным носителем и считаете $-\int_{\mathbb R}|x|\cos x\cdot f'''(x)\,\mathrm dx$, разбив его на два ($x<0$ и $x>0$), чтобы избавиться от модуля, а затем по частям.

Вот не пойму, здесь же я тоже делаю допущение, что знаю, что с нулем не все тут чисто. И так же разбиваю на два луча. То есть, этот способ тоже не совсем честен?

Как вообще быть здесь и в общем случае?

Про нуль очевидно, что с ним не всё чисто: в нём функция $|x|\cos x$ не дифференцируема. Поэтому нельзя так просто взять и взять интеграл по частям. Однако если ограничиться только одним из лучей ($x\leqslant0$ или $x\geqslant0$), то проблема исчезает: там функция бесконечно гладкая (в вершине луча рассматриваются односторонние производные).

С функциями похуже, типа $\ln|x|$ или $\dfrac1{\sqrt{|x|}}$, ситуация хитрее: просто разбиение на промежутки не устраняет проблему, приходится прибегать к дополнительным хитростям. Вот, например, вычисление производной логарифма: пусть $\operatorname{supp}\varphi\subset(-R,R)$, тогда

$$\bigl((\ln|x|)',\varphi\bigr)=-(\ln|x|,\varphi')=-\int_{-R}^R\ln|x|\cdot\varphi'(x)\,\mathrm dx=-\int_{-R}^R\ln|x|\,\mathrm d\bigl(\varphi(x)-\varphi(0)\bigr)=\int_{-R}^R\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}x\,\mathrm dx.$$

В последнем переходе я использовал, что функция $\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}x$ непрерывна всюду (и даже бесконечно гладкая, например потому что $\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}x=\int_0^1\varphi'(tx)\,\mathrm dt$). Так просто вынести $\varphi(0)$ за интеграл нельзя, поскольку именно из-за него интеграл сходится. Однако можно ещё схитрить и заменить интеграл на главное значение (на самом деле с него и надо было начинать):

$$\mathrm{V.p.}\int_{-R}^R\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}x\,\mathrm dx=\lim_{\varepsilon\to+0}\left(\int_{-R}^{-\varepsilon}+\int_\varepsilon^R\right)\dfrac{\varphi(x)-\varphi(0)}x\,\mathrm dx=\ldots=\mathrm{V.p.}\int_{\mathbb R}\dfrac{\varphi(x)}x\,\mathrm dx.$$

Так что, в каком-то смысле, производной логарифма по-прежнему будет $\dfrac1x$, но только "в смысле главного значения". У нас на семинаре по функциональному анализу нам как-то так и писали: $(\ln|x|)'=\mathrm{(V.p.)}\dfrac1x$.