Доказать тождество

[SDmitry]

Добрый день!

Из курса УМФ нужно решить задачу, где показать равенство.

$x\delta''(x)=-2\delta'(x)$

Вопрос есть, куда копать? Не соображу, как тут считать? Какими принципами пользоваться? Вроде бы должно быть что-то вида: $(x\delta''(x), \varphi(x))$. И оно должно каким-то образом свестись ко второй части.

$(x\delta''(x), \varphi(x))=((-1)^n\delta(x), x^3\varphi(x)')$ - Это правильно? И к чему отсюда прийти? Не соображу.

[ИСН]

Если нам уже позволено писать такие вещи просто через "=", будто "2=2", то я бы тупо показал пальцем на предшествующее равенство: $\delta'(x)=-{\delta(x)\over x}$.

[SDmitry]

Немного не понял, доказательство слишком простое? Или я не прав?

[svv]

SDmitry

SDmitry в сообщении #839002 писал(а):

Вопрос есть, куда копать?

SDmitry в сообщении #838996 писал(а):

Как тут ещё можно её сосчитать? Куда копать?

post838719.html#p838719
(заметьте, я это вчера писал!)

[Otta]

В сторону определений копать.
$(\delta(x),\varphi(x))=$
$(f'(x),\varphi(x))=$
$(xf(x),\varphi(x))=$

-- 20.03.2014, 23:36 --

svv

(Оффтоп)

svv в сообщении #839022 писал(а):

(заметьте, я это вчера писал!)

Контрамоция

[SDmitry]

Спасибо за советы.

Вот мой вариант решения:

$(x\delta''(x), \varphi(x)) = (\delta''(x), x\varphi(x)) = -(\delta(x), (x\varphi(x))'') = -(\delta, \varphi''(x)x + 2\varphi'(x)1 + 0) = -(\delta(x), 2\varphi'(x)) = -2\varphi'(0) = -2(\delta'(x), \varphi(x))$

Вот и по заданию должно быть:

$x'\delta''=-2\delta'$

Я прав? Или где-то нет?

[Otta]

По заданию должно быть

SDmitry в сообщении #839002 писал(а):

$x\delta''(x)=-2\delta'(x)$

что у Вас и получилось.

[SDmitry]

А по ходу вычислений есть какие-то неверные шаги?

Спасибо всем, кто ответил в теме!

[Otta]

Нет, только вторая строка выглядит неестественно.
Гораздо логичней сразу
$-(\delta(x), 2\varphi'(x)) = -2(\delta'(x), \varphi(x))$

[SDmitry]

Вот этот момент взят из аудиторного примера похожего вида. Она неправильная или просто лишне и нелепо?

[Otta]

Лишне и вызывает дополнительные вопросы, вместо того чтобы обосновывать что-то.
Две обобщенные функции $f$ и $g$ совпадают, если равны их значения на каждой основной:
$\forall \,\varphi\in \mathcal{D}(R) \;(f,\varphi)=(g,\varphi)$.

У Вас $(x\delta''(x), \varphi(x)) = (-2\delta'(x), \varphi(x))$.

[SDmitry]

Спасибо! Учту!