Сферические векторные волны

[quantum newbie]

Не помню, чтоб когда-либо попадался на глаза подобная тема в литературе, так и в Интернете с ходу материал не нашел.

Сферическая волна определяется так:

$$u(\mathbf{r},t) = A\frac{\exp(-i\omega t + ikr)}r.$$

Вполне понятно, что происходит, когда $A$ и $u(\mathbf{r},t)$ скалярны.

А что происходит, если речь заходит о векторных полях $\mathbf{u}(\mathbf{r},t)$? Я считаю, что «сферичность» заключается в множителе $\frac{e^{ikr}}r$, поэтому он должен остаться. Будет ли в этом случае $A$ вектором? Если да, то будет ли её направление зависеть от точки.
Мне кажется, что $\mathbf{u}(\mathbf{r},t)$ должно быть перпендикулярно $\mathbf{r}$, потому что локально сферическая волна выглядит как плоская волна с волновым вектором $k\frac{\mathbf{r}}{r}$.

Как правильно записать излучение точечного источника?

P.S. речь идёт о сферической волне с центром в начале координат.

[Munin]

quantum newbie в сообщении #839074 писал(а):

Не помню, чтоб когда-либо попадался на глаза подобная тема в литературе, так и в Интернете с ходу материал не нашел.

Читайте про сферические электромагнитные волны. В литературе про них полно написано.

Направление $\mathbf{A}$ зависит от точки, и более того, даже модуль зависит от точки. Есть электромагнитные волны "электрического" и "магнитного" типа, то есть, в которых электрическое поле направлено на сфере "по меридианам" и "по параллелям". Такие поля бывают (соответственно ряду сферических гармоник) дипольные, квадрупольные и так далее. Монопольных электромагнитных волн не бывает. Любая сферическая волна раскладывается по таким гармоникам.

Электромагнитные волны бывают поперечными, но не бывают продольными. Если волновое уравнение допускает продольные векторные волны, то возникает и возможность монопольной гармоники сферической волны. Для поперечных волн это невозможно по математической теореме "невозможно причесать ежа". (Теорема входит в курс топологии. Более точная формулировка указывает, в каком именно смысле невозможно.)

[Alex-Yu]

quantum newbie в сообщении #839074 писал(а):

А что происходит, если речь заходит о векторных полях $\mathbf{u}(\mathbf{r},t)$?

См. Ландау-Лифшиц т.4. Почти в начале. Математический аспект: Варшалович и др. "Квантовая теория углового момента". В общем здесь нужны так называемые шаровые векторы.

[quantum newbie]

Я нашел по хинту, который дал Мунин, некоторый материал, включающий в себя остальное, что написал он.
В частности, в сферической системе координат решение электрического типа

$$E_r = U_{rr}+k^2 U, \; E_\theta = \frac1r U_{r\theta}, \; E_\varphi = \frac1{r\sin\theta} U_{r\varphi},$$

где $U=ru$ удовлетворяет уравнению

$$\Delta u + k^2u = 0$$

Alex-Yu, я обязательно посмотрю.