Топология

[tech]

Здравствуйте. Есть следующее задание:
Придумать топологию, в которой
1. Если последовательность сходится, то она с какого-то номера стационарна.
2. Если последовательность сходится, то она с какого-то номера стационарна, и каждая точка входит в бесконечное число окрестностей.
3. Если последовательность сходится, то она сходится к бесконечному числу точек, и каждая точка входит в бесконечное число окрестностей.

1. Вроде понятно. Для любого множества $X$ можно взять топологию $\tau $, состояющую из всех подмножеств множества $X$.
А это значит, что если последовательность $x_n$ сходится к $x$ по топологии $\tau$, то с определенного номера элемент последовательности $x_n$ должен лежать в окрестности $x$, состоящей из одного только этого элемента $x$.
2. А вот здесь уже непонятно. Получается, что для произвольного множества $X$ такую топологию придумать нельзя, потому что, к примеру, в конечном множестве из $n$ элементов число всех подмножеств равно $2^n$, и ни о каком бесконечном числе окрестностей не может быть и речи. Верно?
Получается, в таком случае мы накладываем на $X$ ограничение, что оно бесконечно. А в качестве топологии можно взять опять же множество всех подмножеств.
3. Честно говоря, не знаю, как это выглядит.
Если мы возьмем в качестве топологии $\{\emptyset, X\}$, то любая сходящаяся последовательность будет сходиться к бесконечному числу точек (опять же если $X$ счётно или более, чем счётно), но окрестность-то у каждой точки всего одна.

[ratay]

П.1 совершенно необязателен, потому что если мы
рассматриваем бесконечно малую окрестность как процесс,
то это будет бесконечно большая последовательность, с
каждым шагом которой в старой окрестности будут
оставаться точки, не вошедшие в новую.
П.2 - тут немного притянуто за уши, но если мы возьмем
бесконечномерное пространство, а такие в топологии тоже
рассматриваются (только с разным весом размерностей,
чтобы у любого тела можно было взять интеграл по объему,
или хоть сам объем был бы конечен), то у него будет бесконечное число конечномерных окрестностей. Да и в случае с плоскостью что-то подобное можно построить, ведь
через через точку можно провести бесконечное число
прямых. А в случае с бесконечным пространством можно
построить и бесконечномерные размерности, только
размерность каждой не будет совпадать с размерностью
исходного пространства.

[olenellus]

1. и 2. — верно. Любое (бесконечное, во втором случае) множество с дискретной топлогией годится как пример.

3. Возьмите любое бесконечное пространство $(X_1,\{X_1,\varnothing\})$, $\operatorname{card}X_1\geqslant\aleph_0$ с тривиальной топологией, возьмите любое пространство с топологией не немее чем счётной мощности $(X_2,\tau)$, $\operatorname{card}\tau\geqslant\aleph_0$ и такой, что каждая точка имеет бесконечно много окрестностей $\forall x\in X_2\;\operatorname{card}\{A\in\tau|x\in A\}\geqslant\aleph_0$. Что получится, если взять их произведение $X_1\times X_2$, как произведение топологических пространтсв (теоретико-множественное произведение с топологией Тихонова)? Проще всего взять в качестве $X_1$ любое бесконечное пространство с тривиальной топологией, а в качестве $X_2$ — любое (например, с тем же подлежащим множеством) бесконечное пространство с дискретной топологией.

Если не знакомы ещё с топологией Тихонова, рассмотрите счётный набор счётных пространств, каждое из которых имеет тривиальную топологию. Как бы так ввести топологию на объединении этих пространств, чтобы выполнились условия задачи? Надо, чтобы, по крайней мере, лишних подмножеств внутри этих пространств не появилось (все точки внутри них будут оставаться слипшимися). Но надо откуда-то взять бесконечное число подмножеств объемлещего пространства.

[Someone]

ratay, пожалуйста, не пишите бред в учебном разделе.

tech в сообщении #838600 писал(а):

1. Вроде понятно. Для любого множества $X$ можно взять топологию $\tau $, состояющую из всех подмножеств множества $X$.

Да.
Что касается второго и третьего, то ответ может зависеть от того, что называется "окрестностью". Три основных варианта:
окрестность точки $x\in X$ — произвольное открытое подмножество множества $X$, содержащее точку $x$;
окрестность точки $x\in X$ — элемент некоторой (заранее выбранной) базы топологии пространства $X$, содержащий точку $x$;
окрестность точки $x\in X$ — элемент некоторой (заранее выбранной) базы топологии в точке $x$.

(Я исхожу из предположения, что слова "бесконечное число окрестностей" подразумевают "являющихся различными множествами".)

В первом случае ваш пример годится и для второй задачи, если множество $X$ бесконечно; пример для третьей задачи легко получить, просто умножив $X$ из первого или второго примера на пространство $Y$ с топологией $\{\varnothing,Y\}$.

Если термин "окрестность" понимать во втором или третьем смысле, то пример для второй задачи нужно придумывать другой (для третьей опять можно умножить его на $Y$ с указанной топологией).

[tech]

Окрестность точки $x$ – любое открытое множество, содержащее $x$. Открытое множество - элемент топологии.
Кажется, я придумал. Скажите, пожалуйста, верно или нет.
Рассмотрим следующие множества $X_1{\subset}X_2{\subset}...{\subset}X_k{\subset}...$
Причём пусть $|X_{i+1}{\diagdown}X_i|\geqslant$ счётное.
Пусть $X$ – объединение $X_i$ по всем $i$
В качестве топологии возьмём $\tau=\{\varnothing, X,X_1,X_2,..\}$
Возьмём элемент $x$ такой, что $x\in...X_k,X_{k-1},..,X_{l+1},X_{l}$ (нумерация в порядке убывания), но уже не принадлежит $X_{l-1}$. Тогда если $x_n$ сходится к $x$, то $x_n{\in}X_l$ с некоторого номера $N$ . В $X_l{\diagdown}X_{l-1}$ ещё бесконечно много элементов, и последовательность сходится также и к ним. Второе условие выполняется для любого элемента $x_n$.

И, если можно, ещё вопрос: ниже по заданию требуется доказать, что в метрическом пространстве множество является открытым тогда и только тогда, когда любая точка входит в него с некоторой окрестностью.
Но ведь это справедливо для любого топологического пространства, значит, если мы накладываем на него метрику, то утверждение остаётся справедливым. Тогда зачем эта приписка "в метрическом"?

[tech]

Точнее, в метрическом пространстве топология порождается, к примеру, открытыми шарами. А для топологического пространства справедливо вот это утверждение.

[Someone]

tech в сообщении #838845 писал(а):

Окрестность точки $x$ – любое открытое множество, содержащее $x$. Открытое множество - элемент топологии.

Понятно.

tech в сообщении #838845 писал(а):

Кажется, я придумал. Скажите, пожалуйста, верно или нет.

Верно.
Хотя могу предложить более простой пример. Возьмём бесконечное множество $X$ и объявим в нём открытыми пустое множество и все подмножества, дополнения которых конечны.

tech в сообщении #838845 писал(а):

ниже по заданию требуется доказать, что в метрическом пространстве множество является открытым тогда и только тогда, когда любая точка входит в него с некоторой окрестностью.

Содержательность этого задания существенно зависит от того, как определяются открытые множества и как определяются окрестности. В случае процитированных выше определений задача тривиальна, поскольку в качестве требуемой окрестности можно предъявить заданное открытое множество.

Часто топология задаётся с помощью открытой базы.
Открытая база — это семейство $\mathscr B$ подмножеств множества $X$, которое удовлетворяет следующим условиям: 1) $\bigcup\mathscr B=X$ и 2) если $B_1,B_2\in\mathscr B$ и $x\in B_1\cap B_2$, то существует такое $B\in\mathscr B$, что $x\in B\subseteq B_1\cap B_2$.
Если выполняется только первое условие, то семейство $\mathscr B$ называется открытой предбазой. Из предбазы можно получить базу, взяв всевозможные конечные пересечения элементов предбазы.

В случае открытой базы окрестностями точки считаются элементы базы, содержащие эту точку. В случае открытой предбазы окрестностями точки считаются конечные пересечения элементов предбазы, содержащих эту точку.

В обоих случаях топология на множестве $X$ определяется как наименьшее семейство $\tau$ подмножеств множества $X$, удовлетворяющее следующим условиям: 1) $\mathscr B\subseteq\tau$; 2) если $\mathscr U\subseteq\tau$, то $\bigcup\mathscr U\in\tau$; 3) если $\mathscr U\subseteq\tau$ и $0<\lvert\mathscr U\rvert<\aleph_0$, то $\bigcap\mathscr U\in\tau$.
Как обычно, открытые множества — это элементы семейства $\tau$.
Замечание. а) $X\in\tau$, так как $\mathscr B\subseteq\tau$ и $\bigcup\mathscr B=X$. б) $\varnothing\in\tau$, так как $\varnothing\subseteq\tau$ и $\bigcup\varnothing=\varnothing$.

В этом случае задача становится немножко нетривиальной. Прежде всего, определяем $\tau$ как семейство всех множеств, которые можно представить как объединения произвольных семейств элементов базы (в случае предбазы нужно сначала пополнить её всевозможными конечными пересечениями, чтобы получилась база). Для элементов этого семейства обсуждаемое утверждение очевидно, но… необходимо доказать, что $\tau$ — топология.

В случае метрического пространства окрестностями точки обычно называются открытые шары с центром в данной точке. Здесь нужно доказать, что множество всех открытых шаров является открытой базой, а также заметить, что если точка содержится в некотором открытом шаре, то найдётся содержащийся в нём открытый шар с центром в данной точке.