Точное решение идеальной линзы

[quantum newbie]

Добрый день.
Встала задача и я не знаю, как её решить. Если кто-то знает, где можно посмотреть что-то подобное, подскажите литературу; а может, здесь можно и без спец. литературы во всём разобраться.

Суть задачи:
есть предмет, для простоты будем считать, что это точечный источник монохроматического света
на некотором расстояние поставлена идеальная линза с фокусом $F$, за которой на соотв. расстояние формируется изображение.
между линзой и изображением поставили прозрачное стекло с показателем $n\neq 1$, в общем случае это несколько стеклянных пластинок, в ещё более общем — просто неоднородное вещество $n(\vec{r})$.
определить, как изменится изображение.
Задача предполагает численное решение, но законы берутся из физики, которую я до конца не понимаю.

Я думал решать так: разложить по плоским волнам, найти $E_2(\vec{r})$ непосредственно за линзов в её плоскости и затем решить волновое уравнение с известным $n(\vec{r})$ и граничным условием $E_2(\vec{r})$.

Камень №1.
Пусть я знаю $E_1(\vec{r})$ в плоскости линзы со стороны предмета. Чему равняется $E_2(\vec{r})$ с другой стороны? Я сначала подумал, что $E_2(r) = E_1(r)e^{-i\varphi}, \; \varphi = \frac{2\pi}\lambda \sqrt{F^2+r^2}$, потому что плоская падающая вдоль оптической оси волна должна перейти в сходящуюся сферическую. Но это не так, потому что любая другая плоская волна не будет переходить в сферическую. Таким образом, $E_2(r)$ определяется не только $E_1(r)$, но и $E_1(r')$, $r\neq r'$.
Можно ли сказать, что

$$E_2(r) = \int\limits_{\|k\|\leq \frac{2\pi}\lambda} \!\!\!\!\operatorname{d}\!k \,\frac{e^{-i\frac{2\pi}\lambda\sqrt{F^2 + (f_k-r)^2}}} {\sqrt{F^2 + (f_k-r)^2}} \int\limits_{\mathrm{lens}} \!\operatorname{d}\!r' \, E(r') e^{i k r'}, \; (k,r,r'\in\mathbb{R}^2)$$

где $f_k$ — точка на фокальной плоскости, в которую фокусируется падающая волна $\exp\left(i k_x x + i k_y y + i \sqrt{\frac{2\pi}\lambda - k^2} z\right)$?

Камень №2.
Если среда неоднородна, то волновое уравнение $\Delta E + n^2 \ddot{E} = 0$ не работает, потому что его вывод предполагал постоянство магнитной и диэлектрической проницаемости в пространстве.
Я вывел такое уравнение в предположении $\mu=1$ и $\frac{\partial\varepsilon}{\partial t} = 0$

$$\operatorname{grad}\left( \frac{E\nabla\varepsilon}\varepsilon \right) = \Delta E + \varepsilon \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$$

Правильно? Это можно решить Фурье-преобразованием? Или как-то по-другому?

Буду рад помощи

[Munin]

quantum newbie в сообщении #838308 писал(а):

Я думал решать так: разложить по плоским волнам, найти $E_2(\vec{r})$ непосредственно за линзов в её плоскости и затем решить волновое уравнение с известным $n(\vec{r})$ и граничным условием $E_2(\vec{r})$.

Предлагаю модификацию: (1) разложить по плоским волнам, (2) искать изображение уже сразу в фокальной плоскости линзы. Дело в том, что линза сама по себе осуществляет пространственное преобразование Фурье, плоские волны перед линзой преобразуются в точки в фокальной плоскости - по одной точке для каждой пространственно-частотной компоненты (для каждого $\vec{k}$). Ну и зачем возиться дважды? :-)

[quantum newbie]

Munin в сообщении #838355 писал(а):

Предлагаю модификацию: (1) разложить по плоским волнам, (2) искать изображение уже сразу в фокальной плоскости линзы. Дело в том, что линза сама по себе осуществляет пространственное преобразование Фурье, плоские волны перед линзой преобразуются в точки в фокальной плоскости - по одной точке для каждой пространственно-частотной компоненты (для каждого $\vec{k}$). Ну и зачем возиться дважды?

Так бы было, если бы среда была однородной. Однако между линзой и фокальной плоскостью есть области с $n\neq 1$, поэтому плоская волна до линзы не сфокусируется в точку.

Я тяготею к переходу к обратному пространству. Поэтому могу сформулировать поставленную передо мной общую задачу так: как зависит форма пятна в фокальной плоскости от дефектов $n$. Остальное (разложение по плоским волнам исходного изображения, получение изображение на экране) я могу сделать.

[Vince Diesel]

Не разбирался в выводе. Однако для во этого уравнения

quantum newbie в сообщении #838308 писал(а):

Я вывел такое уравнение в предположении $\mu=1$ и $\frac{\partial\varepsilon}{\partial t} = 0$

$$\operatorname{grad}\left( \frac{E\nabla\varepsilon}\varepsilon \right) = \Delta E + \varepsilon \frac{\partial^2 E}{\partial t^2}$$

неплохо бы указать, кто не разбирается в оптике, от чего зависит каждая функция, является ли $E$ или еще что векторными величинами. Как понимать $\operatorname{grad}\left( \frac{E\nabla\varepsilon}\varepsilon \right)$? Или там должно быть $\operatorname{div}$? Решается ли задача Коши, раз упомянуто преобразование Фурье или еще какая задача?

[Munin]

quantum newbie в сообщении #838383 писал(а):

Так бы было, если бы среда была однородной. Однако между линзой и фокальной плоскостью есть области с $n\neq 1$, поэтому плоская волна до линзы не сфокусируется в точку.

Так до линзы или после линзы?

[quantum newbie]

Vince Diesel, это уравнение было выведено по аналогии с известным мне выводом волнового уравнения из уравнений Максвелла, когда расписывается $\operatorname{rot}\operatorname{rot} E$:

$$\begin{array}{c} \operatorname{rot} E = -\dot{B}, \\ \operatorname{rot} B = \varepsilon \dot{E}, \\ \operatorname{rot}\operatorname{rot} E = -\varepsilon\ddot{E}, \\ \operatorname{rot}\operatorname{rot} E = \operatorname{grad}\operatorname{div} E - \Delta E \end{array}$$

Дальше обычно говорится так: из $\operatorname{div} D = \varepsilon \operatorname{div} E = 0$ следует волновое уравнение. Однако в моём случае $\operatorname{div} D = \varepsilon \operatorname{div} E + (\operatorname{grad}\varepsilon) E= 0$, поэтому $\operatorname{div} E = -\frac{E\operatorname{grad}\varepsilon}{\varepsilon}$ и появляется дополнительный член $\operatorname{grad}\frac{E\operatorname{grad}\varepsilon}\varepsilon$.
Вот, всё расписал.

Munin, между линзой и экраном.
Если бы пластинка стояла перед линзой, мне стоило бы решить соотв. уравнения и найти распределение по спектру в полупространстве предмета, а потом сказать, что линза каждой плоской волне сопоставляет точечный источник света той же интенсивности в фокальной плоскости (кстати, я не знаю, что в этом случае делать с фазами, но это обсуждать наверное сейчас не стоит) и найти результирующее изображение на экране. Это Вы предложили в начале.
Но тут пластина стоит между линзой и экраном, причём она может стоять и перед «фокальной» плоскостью. В этом случае она уже, очевидно, не будет обладать свойствами фокальной плоскости, потому что будет рассеивание.
Я как раз и интересуюсь этим случаем.

-- 18.03.2014, 23:43 --

В УМ $E$ и $H$ являются векторными полями.
У меня объект является источником света с неопределённой поляризацией в неконкретном диапазоне спектра: фонарь, свеча и т.п.
На экране фиксируется только интенсивность. Поэтому мне бы хотелось получить формулы по-проще, насколько это можно сделать. Впрочем, сейчас мне хочется понять физику процесса.

[Munin]

quantum newbie в сообщении #838465 писал(а):

Но тут пластина стоит между линзой и экраном, причём она может стоять и перед «фокальной» плоскостью. В этом случае она уже, очевидно, не будет обладать свойствами фокальной плоскости, потому что будет рассеивание.
Я как раз и интересуюсь этим случаем.

Так в этом случае всё ещё проще. Источник плюс линза просто дают сферический волновой фронт - сходящийся к изображению источника. Вот его и надо рассеять на вашем распределении $n(\vec{r}).$ А про линзу забыть, она была нужна только для приготовления фронта.

Можно разложить сферический фронт по плоским волнам, и рассеивать их, а потом уже собрать результат обратно.

Вот найти рассеяние на произвольном $n(\vec{r})$ может быть сложно. Можно решать численно уравнение эйконала. Можно использовать теорию возмущений, как в КТП. В любом случае, одним интегралом дело не решить, это будет или решение ДУЧП, или итерационный процесс с интегралами на каждой итерации.

[quantum newbie]

Спасибо.

Итак, два этапа: формирование волнового фронта на поверхности линзы со стороны экрана и решение ДУ с граничными условиями.

Цитата:

Источник плюс линза просто дают сферический волновой фронт - сходящийся к изображению источника.

Сразу вопрос по первому: формула в вводном посте с двумя интегралами правильная? Именно в таком смысле нужно понимать Вашу фразу?

Munin в сообщении #838484 писал(а):

Вот найти рассеяние на произвольном $n(\vec{r})$ может быть сложно. Можно решать численно уравнение эйконала. Можно использовать теорию возмущений, как в КТП. В любом случае, одним интегралом дело не решить, это будет или решение ДУЧП, или итерационный процесс с интегралами на каждой итерации.

Расскажите по-подробнее, этот (второй) этап у меня тоже вызывает проблемы.
Я никогда не решал уравнение эйконала и слабо представляю, как это делается численно. Поищу литературу.
С теорией возмущения я знаком по ЛЛ-3 (КМ).
В моей задаче среда содержит включения инородных небольших объёмов (микрополости в среде, например, или инородные пузырьки) и $n$ в среде и во включениях различается и на границе оно менятся сильно — $\operatorname{grad} n$ тоже немаленькое; известно только, что включения маленькие по объёму и их концентрация невелика. Применима ли теория возмущений, не знаю.

Что Вы посоветуете?

[quantum newbie]

Можно ли сказать, что $\frac1\varepsilon \operatorname{grad}\varepsilon = \operatorname{grad}\ln\varepsilon$? Буду предполагать, что можно.
Если на поверхности линзы со стороны экрана поле $E_2(x,y)$ периодично по времени, то решение будет искаться тоже периодичным:

$$\begin{array}{c} \Delta E + \varepsilon \ddot{E} = \operatorname{grad} (E\operatorname{grad}\ln\varepsilon) \\ E = E_\omega \exp(-i\omega t), \\ \Delta E_\omega = \varepsilon\omega^2 E_\omega + \operatorname{grad} (E_\omega\operatorname{grad}\ln\varepsilon) \end{array}$$

Насколько я понимаю, $\omega$ определяется длиной волны $\lambda$, а значит, нам известная величина.
Получается уравнение вида

$$\frac{\partial E}{\partial z} = \varepsilon\omega^2 E + \operatorname{grad} (E\operatorname{grad}\ln\varepsilon) - \frac{\partial E}{\partial x} - \frac{\partial E}{\partial y} $$

с граничными условиями

$$E(x,y,0) = E_2(x,y)$$

Это уравнение несложно решить численно.
Правильно ли я рассуждал?

(Оффтоп)

Я сейчас с ходу не могу сообразить, что происходит с направлением вектора $E$.
В однородной среде $\varepsilon \operatorname{div} E = 0$, поэтому $kE=0$ и $E$ не может иметь комноненты вдоль $k$.
В неоднородной среде $\operatorname{div} E = -E\operatorname{grad}\ln\varepsilon$ и направдение $E$ может меняться. Так, если при $z=0$ $E$ лежит в плоскости линзы, то $\frac{\partial E}{\partial z}$ может быть отличным от нуля за счёт $\frac{\partial}{\partial z}(E\operatorname{grad}\ln\varepsilon)$

[Munin]

quantum newbie в сообщении #838505 писал(а):

Я никогда не решал уравнение эйконала и слабо представляю, как это делается численно.

Я тоже. Главная проблема, как я себе представляю, - это каустики.

quantum newbie в сообщении #838505 писал(а):

С теорией возмущения я знаком по ЛЛ-3 (КМ).

Нет, я имел в виду что-то в смысле фейнмановского подхода к КЭД. Посмотрите Фейнман, Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям" и Фейнман "Квантовая электродинамика" (не путать с популярной книжкой). Хотя знакомство с главой ЛЛ-3 при этом невредно.

quantum newbie в сообщении #838505 писал(а):

В моей задаче среда содержит включения инородных небольших объёмов (микрополости в среде, например, или инородные пузырьки) и $n$ в среде и во включениях различается и на границе оно менятся сильно — $\operatorname{grad} n$ тоже немаленькое; известно только, что включения маленькие по объёму и их концентрация невелика. Применима ли теория возмущений, не знаю.

Как раз то, что надо! Каждое отдельное включение - возмущение, и расчёт будет последовательно учитывать рассеяние на одном включении, на двух, на трёх и так далее.

[quantum newbie]

Простите, что возвращаюсь к одному вопросу, но я не уверен, что правильно сделал.
Пусть на поверхности линзы со стороны предмета находится

$$E_1 = \iiint dk_xdk_ydk_z E(k_x,k_y,k_z) \exp(ik_x x + ik_yy + ik_zz - i\omega t)$$

Мы говорим, что плоская волна переходит в сферическую сходящуюся, т.е.

$$\exp(ikr-i\omega t) \quad \mapsto \quad \frac{\exp(i\omega t + i \|k\| d)} d, \; d = \| \vec{f_k} - r \|$$

тут $f_k$ определяет центр, к котому сходится волна, поэтому $f_k\left(\frac{k_x F}{\| k \| }, \frac{k_y F}{\| k\|}, F\right)$.
Таким образом, без инородных включений между линзой и экраном будет

$$E_2 = \iiint dk_xdk_ydk_z E(k_x,k_y,k_z) \frac{\exp(i\omega t + i \sqrt{k_x^2+k_y^2+k_z^2} \|f_k - r \|)} {\|f_k - r\|}$$

Это верно? Так выглядит поле после прохождения линзы?

(Оффтоп)

Если так, то можно найти $E_2(x,y,0)$ и $\frac{\partial E_2}{\partial z}(x,y,0)$ и решить численно уравнение

$$\frac{\partial^2 E}{\partial z^2} = \varepsilon\omega^2 E + \operatorname{grad} (E\operatorname{grad}\ln\varepsilon) - \frac{\partial^2 E}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 E}{\partial y^2} $$

с граничными условиями $E(x,y,0) = E_2(x,y,0)$ и $\frac{\partial E}{\partial z} = \frac{\partial E_2}{\partial z}$ при $z=0$.

Ещё вопрос: если $E$ — это вектор, то что делается с ним в сферических волнах?

Munin в сообщении #838702 писал(а):

Нет, я имел в виду что-то в смысле фейнмановского подхода к КЭД. Посмотрите Фейнман, Хибс "Квантовая механика и интегралы по траекториям" и Фейнман "Квантовая электродинамика" (не путать с популярной книжкой).

Спасибо. Посмотрю.