Школьная алгебра. Проверьте пожалуйста рассуждения.

[Healer]

Дано: алгебраическое выражение $x^2y^2+xy+1$
Вопрос: является ли его значение положительным числом при любых действительных значениях переменных?
При любых действительных значениях переменных выражение $xy$ принимает также любые действительные значения. Оценим зависимость исходного выражения от $xy$.
Очевидно, что при $xy\geq 0$ выражение всегда больше $0$.
Выделим полный квадрат, получим $(xy+1)^2-xy$.
Очевидно, что при $xy<0$ полученное выражение $\geq 0$.
Проверим, может ли оно равняться $0$. Приравняем к $0$ и сделаем замену $xy=a$.
Полученное квадратное уравнение $a^2+a+1$ имеет отрицательный дискриминант, следовательно не имеет действительных корней. Значит нет таких пар $x$ и $y$, которые обращают выражение в $0$.
В итоге получаем, что при всех значениях $x$ и $y$ исходное алгебраическое выражение является положительным числом.

[gris]

Правильно, но избыточно. Можно было обойтись только заменой, дискриминантом и коэффициентом при $a^2$.

[TOTAL]

Healer в сообщении #838578 писал(а):

Выделим полный квадрат, получим $(xy+1)^2-xy$.

Выделим полный квадрат, получим $(xy+1/2)^2+3/4$.

[Healer]

TOTAL, gris, спасибо большое!
Что-то я перемудрил...