Интегральное неравенство

[Keter]

(i) Для $f \in R([0, 1])$ доказать (методами математического анализа) неравенство:

$$\int\limits_0^1 \bigg(\int\limits_0^x f(t)\, dt \bigg)^2 dx \le \int\limits_0^1 x \int\limits_0^x f^2(t)\, dt\, dx.$$

(ii) По возможности обобщить неравенство на произвольный отрезок $[a, b]$ для степеней $p>1.$

Deggial: $dx$ добавлен.

[Otta]

(1) Применить Коши-Буняковского к подынтегральной функции.
(2) Покудесничать с Гёльдером, аналогично.

[Keter]

Otta, хорошо, но можно еще проще.

И там, конечно, должно быть $dx$ после первого интеграла, пропустил.

[Oleg Zubelevich]

неравенство Йенсена

[Otta]

Да, но разве это здесь не полный аналог?

[Keter]

Deggial, спасибо.

Oleg Zubelevich, Вы не подскажите интересных неравенств на эту и смежные темы из области функционального анализа и топологии? Все Ваши посты затрагивают очень интересные темы. В некоторых из них не могу разобраться, не знаю какую литературу изучить. Если возможно, подскажите, пожалуйста.

Otta, вроде бы Йенсен здесь - общий подход, а Гёльдер, как классика.

Согласно неравенству Йенсена для выпуклой функции $\psi \in C([A, B])$ и для $f: [\alpha, \beta] \to [A, B]$ таких, что $f\in R([\alpha, \beta])$ имеем:

$$\psi \bigg( \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_k) \frac{\Delta x_k}{\beta-\alpha} \bigg) \le \frac{1}{\beta-\alpha} \sum_{k=0}^{n-1} \psi \Big( f(\xi_k) \Big)\Delta x_k, \quad \sum_{k=0}^{n-1}\frac{\Delta x_k}{\beta-\alpha}=1.$$

При предельном переходе $d(\lambda) \to 0$ в неравенстве получим:

$$\psi \bigg( \frac{1}{\beta-\alpha} \int\limits_{\alpha}^{\beta} f(x)\, dx \bigg) \le \frac{1}{\beta-\alpha} \int\limits_{\alpha}^{\beta} \psi \Big( f(x) \Big)\, dx.$$

Полагая $\psi(y)=y^p, p \ge 1,$ и $\alpha=0, \beta=x,$ получаем

$$\bigg| \int\limits_0^x f(t)\, dt \bigg|^p \le x^{p-1} \int\limits_0^x |f(t)|^p\, dt.$$

Далее можно интегрировать обе части по $dx$ от $a$ до $b:$

$$\int\limits_a^b \bigg( \bigg| \int\limits_0^x f(t)\, dt \bigg|^p \bigg)\, dx \le \int\limits_a^b x^{p-1} \int\limits_0^x |f(t)|^p\, dt\, dx.$$

[Oleg Zubelevich]

topic44390.html

-- Ср мар 19, 2014 10:04:45 --

есть еще интересное неравенство Харди...