С4 ЕГЭ

[Rasool]

Цитата:

ЕГЭ-2013 (под ред. Семенова, Ященко), Тренировочная работа 2, C4.
Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ - основания высот треугольника ABC. Углы треугольника $A_1 B_1 C_1$ равны $90^o$, $60^o$, $30^o$. Найдите углы треугольника ABC.

Обойтись одними соотношениями углов треугольников - не получается. Значит, нужно привлекать соотношения сторон через синусы соответствующих углов?
$B A_1 = AB \cos \widehat{ABC}$,
$\widehat{A_1 O B_1} = 180^o-\widehat{ACB}$,
$\widehat{A_1 O B} = 180^o - \widehat{A_1 O B_1}=\widehat{ACB}$,
$\widehat{A_1 B O} = 90^o - \widehat{A_1 O B}= 90^o - \widehat{ACB}$,
$\frac {\sin \widehat{B_1 A_1 O}} {B_1 O} = \frac {\sin \widehat{A_1 B_1 O}} {a_1 O}.$
Отсюда находим $\widehat{B_1 A_1 C_1}$. ($C_1$ - основание высоты треугольника из точки $C$).
Не слишком ли громоздко получается?

[Someone]

Rasool в сообщении #838002 писал(а):

Значит, нужно привлекать соотношения сторон через синусы соответствующих углов?

Не нужно.
Во-первых, достройте третью высоту и две другие стороны треугольника $A_1B_1C_1$.
Во-вторых, на сторонах треугольника $ABC$, как на диаметрах, постройте полуокружности (во "внутреннюю" сторону).

[provincialka]

Вообще-то известно, что отрезки $A_1B_1,B_1C_1, C_1A_1$ отсекают от треугольника подобные ему. Только "перевернутые на обратную сторону". По-крайней мере, для остроугольного треугольника. Для тупоугольного основной и ортотреугольник меняются местами.

[TOTAL]

Сначала нарисуйте треугольник $A_1 B_1 C_1$. Затем постройте треугольник $AB C$ (4 варианта).

[Rasool]

Someone в сообщении #838009 писал(а):

Rasool в сообщении #838002 писал(а):

Значит, нужно привлекать соотношения сторон через синусы соответствующих углов?

Не нужно.
Во-первых, достройте третью высоту и две другие стороны треугольника $A_1B_1C_1$.
Во-вторых, на сторонах треугольника $ABC$, как на диаметрах, постройте полуокружности (во "внутреннюю" сторону).

Понял, спасибо.

[Rasool]

Цитата:

ЕГЭ-2013 (под ред. Семенова, Ященко), Тренировочная работа 1, C4.
Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB=6 и BC=4. Найдите AC.
Правильный ответ: $\sqrt{35}\pm\sqrt{15}$

Если опустить высоты OD на AB, OE на BC, а AG и CF на OB, то можно попытаться решить задачу "в лоб":

$$\cos \widehat{OBA}=\frac {BD} {OB} = \frac 1 4,$$

$$\sin \widehat{OBA} = \sqrt{1-\cos^2{ \widehat{OBA}}}=\frac {\sqrt{15}} {4},$$

$$\cos \widehat{OBC}=\frac {BE} {OB} = \frac 1 6,$$

$$\sin \widehat{OBC} = \sqrt{1-\cos^2{ \widehat{OBC}}}=\frac {\sqrt{35}} {6},$$

$$BF=BC \cos \widehat{OBC} = \frac {2} {3},$$

$$BG=AB \cos \widehat{OBA} = \frac {3} {2},$$

$$GF=BG-BF = \frac {5} {6},$$

$$CF=BC \sin \widehat{OBC} = \frac {2 \sqrt{35}} {3},$$

$$AG=AB \sin \widehat{ABO} = \frac {3 \sqrt{15}} {2},$$

$$AC^2=GF^2+(CF+AG)^2=\frac {25} {36} + \left(\frac {3 \sqrt {35} +9 \sqrt {15}} {6} \right)^2$$

Получается слишком громоздко.

-- Вс мар 23, 2014 00:59:36 --

Другой вариант.
Можно опустить высоту OH на сторону AC. Тогда

$$\widehat{AOC}=2\widehat{AOD}+2\widehat{COE},$$

$$AH=CH=OC \sin {\frac {\widehat{AOC}} {2}} = OC \sin {\widehat{COE}+\widehat{AOD}},$$

$$AC=2AH.$$

Тут придется применять формулы синуса суммы.

[VAL]

Rasool в сообщении #839796 писал(а):

Цитата:

ЕГЭ-2013 (под ред. Семенова, Ященко), Тренировочная работа 1, C4.
Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB=6 и BC=4. Найдите AC.
Правильный ответ: $\sqrt{35}\pm\sqrt{15}$

Можно применить теоремы косинусов и синусов.
Получится система, из которой легко находится $\cos \beta$. А через него $AC$.

[provincialka]

Может, через площадь? Две формулы: через $R, a, b, c$ и формулу Герона.

[Rasool]

VAL в сообщении #839859 писал(а):

Rasool в сообщении #839796 писал(а):

Цитата:

ЕГЭ-2013 (под ред. Семенова, Ященко), Тренировочная работа 1, C4.
Треугольник ABC вписан в окружность радиуса 12. Известно, что AB=6 и BC=4. Найдите AC.
Правильный ответ: $\sqrt{35}\pm\sqrt{15}$

Можно применить теоремы косинусов и синусов.
Получится система, из которой легко находится $\cos \beta$. А через него $AC$.

Я сделал так:

$$AC^2=BC^2+AB^2-AB \cdot BC \cdot \cos{\widehat{ABC}},$$

$$\cos{\widehat{ABC}}=\cos{(\widehat{OBC}+\widehat{OBA})}=$$

$$=\cos{\widehat{OBC}} \cdot \cos {\widehat{OBA}}+\sin{\widehat{OBC}} \cdot \sin {\widehat{OBA}}=$$

$$=\frac {1} {24} (1-\sqrt{35}\sqrt{15}).$$

Отсюда (если я не наврал):

$$AC^2=51+5\sqrt{21}.$$

[VAL]

Rasool в сообщении #840047 писал(а):

Я сделал так:

$$AC^2=BC^2+AB^2-AB \cdot BC \cdot \cos{\widehat{ABC}},$$

Вообще-то, в теореме косинусов удвоенное произведенеие.

[Rasool]

Тогда получается $AC^2=50+10\sqrt{21}.$

[VAL]

Rasool в сообщении #840337 писал(а):

Тогда получается $AC^2=50+10\sqrt{21}.$

То есть, $AC=\sqrt{35}+\sqrt{15}$. Это один из возможных ответов.
Второй получится при $AC^2=50-10\sqrt{21}.$

[Rasool]

Цитата:

Тренировочная работа 1, C4, 2014 год.
На окружности радиуса 20 с центром в вершине C треугольника ABC взята точка P. Известно, что AB=25, AC=15, BC=20, а треугольники APC и BPC равновелики. Найдите расстояние от точки P до прямой AB, если известно, что оно меньше 25.

Имеем: треугольник ABC - прямоугольный (из-за пифагоровой тройки AC=15, BC=20, AB=25), треугольник BPC - равнобедренный, APC - тоже (AP=PC=BC=20), PB=AC=15.
Но тогда невозможно выбрать удовлетворяющую этим условиям точку P на окружности.
В чем ошибка? В условии задачи или в моих построениях?

[provincialka]

Почему $AP=20$? Из равновеликости следует, что $PC || AB$.

[Rasool]

А, понял. Равновеликие - равные по площади, а не просто равные между собой.