Помогите разобратся. Ландау. Теория поля.

[illuminates]

В параграфе 28 Четырёхмерный вектор тока не понимаю,
1) справедливость равенства 28,5:

$$1/c \int_{}^{} j^{0} dV = 1/c \int_{}^{} j^{i} dS_{i} $$

Какойто очень хитрый осуществлён переход, явно не теорема Остроградского-Гаусса. Чувствую, что замешено дело с пространственно подобной гиперповерхностью...

2) Далее в этом параграфе идет цепочка равенств:

$$-1/c \int_{}^{} \rho A_{i} dx^{i} dV = -1/c \int_{}^{} \rho A_{i} (dx^{i}/dt) dVdt= -1/c^{2} \int_{}^{} A_{i} j^{i} d\Omega $$

Но как же так? Сначала у нас был интеграл по $dV$, затем мы формально домножили и поделили на $dt$, и теперь объединяем $dV$ и $dt$ и получаем $d\Omega$. Но у нас интеграл же не поменялся, он же должен остаться по $dV$. А мы с этой минуты начинаем считать, что интеграл уже по $d\Omega$. Жуть.

Помогите разобраться пожалуйста.

[EvilPhysicist]

illuminates в сообщении #837891 писал(а):

явно не теорема Остроградского-Гаусса

А вот на сколько я вижу, она самая.

illuminates в сообщении #837891 писал(а):

Сначала у нас был интеграл по $dV$. А мы с этой минуты начинаем считать, что интеграл уже по $d\Omega$.

Там везде молчаливо опускается $\delta$-функция. В самом левом выражении должна стоять дельта по трехмерной траектории. При переходе от левого к среднему надо сказать, что "интегрирование по dV можно заменить на $\delta(\text{в нужный момент времени})$ d\Omega". В среднем выражении стоит дельта по уже четрехмерной трактории. Она же и в правом выражении, только там $d\Omega$ приведено к правильному виду.

[illuminates]

EvilPhysicist в сообщении #837897 писал(а):

А вот на сколько я вижу, она самая.

Вы не правы.

$$1/c \int_{}^{} (j^{0}/dt) dVdt $$

Как видите не о какой теореме гаусса речи не идёт, так как четыре дивергенция нами образована не была.

EvilPhysicist в сообщении #837897 писал(а):

Там везде молчаливо опускается $\delta$-функция. В самом левом выражении должна стоять дельта по трехмерной траектории. При переходе от левого к среднему надо сказать, что "интегрирование по dV можно заменить на $\delta(\text{в нужный момент времени})$ d\Omega". В среднем выражении стоит дельта по уже четрехмерной трактории. Она же и в правом выражении, только там $d\Omega$ приведено к правильному виду.

К сожалению я не понимаю Ваше объяснение.

[vanger]

illuminates в сообщении #837891 писал(а):

1) справедливость равенства 28,5:

$$1/c \int_{}^{} j^{0} dV = 1/c \int_{}^{} j^{i} dS_{i} $$

Какойто очень хитрый осуществлён переход, явно не теорема Остроградского-Гаусса.

У неё есть многомерное обобщение: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0% ... 1%81%D0%B0 Понять её по ландавшицу весьма затруднительно, да. Посмотрите какой-нибудь учерник по анализу на многообразиях. Да хоть второй том Зорича -- там весьма доступно.

UPD. Я был невнимателен. Там же вообще никакого перехода нет. Просто тождественное переписывание в другом виде. Которое, правда, пригодно для использования в формуле Стокса-Пуанкаре, чтобы показать, что интеграл, написанный выше, не зависит от выбора пространственноподобной поверхности, т.к. ток бездивергентен: $\partial_\mu j^\mu = 0$. Потому он(интеграл по гиперповерхности) и сохраняется.

[Утундрий]

illuminates в сообщении #837891 писал(а):

$$1/c \int_{}^{} j^{0} dV = 1/c \int_{}^{} j^{i} dS_{i} $$

Какойто очень хитрый осуществлён переход, явно не теорема Остроградского-Гаусса. Чувствую, что замешено дело с пространственно подобной гиперповерхностью...

Слева частный случай, справа - общий.

[illuminates]

Предположим, что с первым вопросом понятно ds - это пространственно подобная гиперповерхность. А вот как быть со вторым?

[Bobinwl]

illuminates в сообщении #838177 писал(а):

Предположим, что с первым вопросом понятно ds - это пространственно подобная гиперповерхность.

А как вы поняли, что интегралы вида $\int j_{x}dydzdt$ равны 0?

[illuminates]

Bobinwl в сообщении #838224 писал(а):

А как вы поняли, что интегралы вида $\int j_{x}dydzdt$ равны 0?

Мы сказали, что $ds_{i}$ - это пространственно подобная гиперповерхность. Тогда по её определению она есть: $ds_{i}=(cdt,0,0,0)$. Тогда при умножении на $j^{i}$ Понятно, что останется только компонента при i=0. $ds_{i}$ записывается именно так, по причине что так как это вектор, то он является "нормалью" к пространственно подобной гиперповерхности, а по модулю самой пространственно подобной гиперповерхностью. (аналогично как какая-нибудь ориентационная площадка, которая получается по теореме Остроградского-Гаусса)

[Munin]

illuminates в сообщении #838307 писал(а):

Мы сказали, что ds - это пространственно подобная гиперповерхность. Тогда по её определению она есть: $ds_{i}=(cdt,0,0,0)$.

Нет. Это чисто пространственная гиперповерхность. А пространственно-подобная - это $ds_{i}=(c\,dt,dx,dy,dz),$ с любыми значениями, лишь бы выполнялось $c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2>0.$

-- 18.03.2014 18:42:29 --

illuminates в сообщении #838307 писал(а):

$j^{i}$ записывается именно так, по причине что так как это вектор, то он является "нормалью" к пространственно подобной гиперповерхности, а по модулю самой пространственно подобной гиперповерхностью.

$j^{i}$ - это вектор тока, и его модуль никак не связан с модулем вектора (нормали к) гиперповерхности. Сравните в трёхмерном случае: $\mathbf{j}$ и $d\mathbf{s}.$

[illuminates]

Munin
Прошу прощения, забыл определения.

Не могли бы со вторым вопросом подсказать ещё?

-- 18.03.2014, 18:48 --

Munin в сообщении #838313 писал(а):

$j^{i}$ - это вектор тока, и его модуль никак не связан с модулем вектора (нормали к) гиперповерхности. Сравните в трёхмерном случае: $\mathbf{j}$ и $d\mathbf{s}.$

Я ошибся, написал вместо ds, j (исправил в сообщении)

[Munin]

illuminates в сообщении #837891 писал(а):

2) Далее в этом параграфе идет цепочка равенств:

$$-1/c \int_{}^{} \rho A_{i} dx^{i} dV = -1/c \int_{}^{} \rho A_{i} (dx^{i}/dt) dVdt= -1/c^{2} \int_{}^{} A_{i} j^{i} d\Omega $$

Но как же так? Сначала у нас был интеграл по $dV$

Нет, обратите внимание, у нас был интеграл и по $dx^i,$ и по $dV.$ По сути, что мы сделали? У нас в формуле (27.7) было слагаемое (возьмём одну заряженную частицу для ясности):

$$-\dfrac{1}{c}e\int A_i dx^i.$$

Что здесь такое $dx^i$? Это вектор, касательный к траектории заряженной частицы. Он какой-то времениподобный. В каждом пространственном сечении эта траектория даёт одну точку, в которой находится заряд $e.$ Теперь мы описываем эту точку какой-то дельта-функцией: $\rho=e\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\text{заряда}}).$ Соответственно, мы можем снаружи на весь этот интеграл навесить ещё один интеграл:

$$\ldots=-\dfrac{1}{c}\int e\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_{\text{заряда}})\biggl(\int A_i dx^i\biggr)dV=-\dfrac{1}{c}\int\rho\biggl(\int A_i dx^i\biggr)dV.$$

Видите? У нас получилось два интеграла, двойной интеграл. Теперь, если мы посмотрим, это интегралы по непараллельным направлениям в пространстве-времени: по чисто-пространственной 3-площадке $dV,$ и по времени-подобному 1-мерному отрезку $dx^i.$ По сути, они задают некоторый параллелограмм. А двойной интеграл - по сути есть интеграл по 4-объёму:

$$\ldots=-\dfrac{1}{c}\iint\rho A_i dx^i dV=-\dfrac{1}{c}\int\rho A_i(dx^i dV).$$

И теперь мы уже можем этот 4-объём преобразовать. Нам нужно, чтобы от вектора $A_i$ была нужная проекция (на траекторию заряженной частицы)? Хорошо, возьмём проекцию на вектор скорости заряженной частицы. А $dx^i=\tfrac{dx^i}{dt}dt=u^i dt,$ и кроме вектора скорости у нас получается $dt$ - чисто временной 1-мерный отрезок, который вместе с $dV$ образует инвариантный 4-объём $d\Omega.$ Теперь у нас получается интеграл по 4-объёму в стандартном виде,

$$\ldots=-\dfrac{1}{c}\int\rho A_i u^i(dt\,dV)=-\dfrac{1}{c}\int A_i j^id\Omega.$$

Мы могли поступить и иначе: взять не $dt,$ перпендикулярный $dV,$ а наоборот, взять пространственно-подобную 3-площадку $dS^i,$ перпендикулярную $dx^i$ и повёрнутую относительно $dV,$ и тогда у нас был бы множитель, отвечающий проекции одной площадки на другую (тоже в конечном счёте $u^i$).

В любом случае, размерность интеграла не поменялась. А что происходило внутри него, с элементом интегрирования, можно рассматривать даже как чисто формальные преобразования.

[illuminates]

Munin
Большое Вам спасибо, теперь всё стало на свои места.

[hypersphere]

Вот бы мне так расписали мои тупые вопросы.

Цитата:

Цитата:

$j^{i}$ - это вектор тока, и его модуль никак не связан с модулем вектора (нормали к) гиперповерхности.

- даже можно короче, одной простой, банальной фразой, как тут. И флуд покинул бы меня, а то все лезет и лезет в голову флуд проклятый. Куда не посмотрю "в глаза кидается" - образно, конечно. Если бы еще нашли хороший, визуальный редактор для формул, то было бы совсем счастье, можно было бы и в закорючки поиграть, хотя какой от них толк.

[Munin]

hypersphere в сообщении #839993 писал(а):

Если бы еще нашли хороший, визуальный редактор для формул

В разделе "Работа форума" перечислено несколько. Надо только не воротить нос высокомерно.

[hypersphere]

(Оффтоп)

Да, дело не в высокомерии. Просто, мало времени "хочется кусочек кода посмотреть" и вперед, а направляют трассировать всю библиотеку, по шагам. Но, я понял и осознал свою ошибку. Я больше не буду.