Бесконечное произведение

[Terraniux]

Здравствуйте.
Если не ошибаюсь, в Зориче, была задача: привести пример, что произведение бесконечного числа бесконечно малых функций может не быть б малой.

Мой пример: $\prod\limits _{n=1} ^{\infty} \dfrac{n}{x^{1+\tfrac{1}{n^2}}}$. Тогда каждый по отдельности множитель представляет б. малую функцию, но в произведении знаменатель имеет порядок $x^{n\alpha}$, а числитель - факториальный.
Верен ли этот пример? Если нет, то подскажите, пожалуйста, какой пример мог бы это иллюстрировать.

[Otta]

Бесконечно малых "просто так" не бывает. Необходимо указывать при каких значениях какого аргумента. Что и куда стремится. При какой базе, человеческим языком говоря.

Наведите здесь порядок и увидите слабые места Вашего примера.

[Terraniux]

Otta в сообщении #834177 писал(а):

Бесконечно малых "просто так" не бывает. Необходимо указывать при каких значениях какого аргумента.

Набор функций $f_n(x) = \dfrac{n}{x^{1+\tfrac{1}{n^2}}}$ ($n$ пробегает мн-во натуральных чисел), каждая из которых бесконечно малая при базе $x \to \infty$.

Пока слабых мест не вижу, кроме того, что получился расходящийся ряд.

[Otta]

Так уже много, если имеется в виду то, что имеется - что при каждом фиксированном $x$ произведение расходится.

Добавьте к этому, что в Вашем примере зачем-то сравнивается рост числителя и знаменателя по $n$, от которого произведение не зависит вовсе, зато из такой разницы в росте именно по $n$ и следует гарантированно расходимость.

[Terraniux]

Otta
Спасибо, сейчас понял. Сравниваю разные вещи.
А можно ли рассмотреть это произведение как функцию двух переменных? Что-нибудь хорошее будет тогда?

[Otta]

Не очень поняла, что Вы имеете в виду. Бесконечное произведение от $n$ не зависит, конечное - можно рассматривать как функцию двух переменных при желании.

Не верю я в Ваше утверждение, честно говоря. Где Вы его раскопали?
UPD А, все, верю. ))

Пример стряпается по мотивам геометрической прогрессии в показателях, как и следовало ожидать.

[Terraniux]

Otta в сообщении #834206 писал(а):

Не верю я в Ваше утверждение, честно говоря. Где Вы его раскопали?

В.А. Зорич, Математический анализ, МЦНМО, 2012. Некоторые задачи коллоквиумов, задача 6.

(Оффтоп)

Поздравляю Вас с праздником!

[Otta]

Спасибо. :)
Да, ну так вот (слегка высвободившись).

Есть (в том же Зориче, кстати), хорошо известный пример. Вычислить произведение $\prod\limits_{k=1}^\infty(1+x)^{2^k}$.
Вычислите. По дороге в голову могут забрести разные хорошие мысли. Например, как соорудить из этого нужное.

[Terraniux]

Otta в сообщении #834384 писал(а):

Спасибо. :)
Да, ну так вот (слегка высвободившись).

Есть (в том же Зориче, кстати), хорошо известный пример. Вычислить произведение $\prod\limits_{k=1}^\infty(1+x)^{2^k}$.
Вычислите. По дороге в голову могут забрести разные хорошие мысли. Например, как соорудить из этого нужное.

Кажется, придумал, только для последовательностей.
Определим бесконечное произведение последовательностей как $A_n = \lim\limits_{N\to \infty}{\prod \limits _ {l=1}^{N}{a_n^l}}$. При этом, в качестве бмп $a_n^l$ при базе $n\to \infty$ будем брать $a_n^l = \dfrac{e}{e^{n^{1/l^2}}}$. Тогда последовательность $A_n$ есть тождественная константа. Вместо $1/l^2$ можно брать общий член любого сходящегося ряда.
Правильно?

[Otta]

Terraniux в сообщении #837298 писал(а):

Тогда последовательность $A_n$ есть тождественная константа.

Почему?

[Terraniux]

Otta в сообщении #837438 писал(а):

Terraniux в сообщении #837298 писал(а):

Тогда последовательность $A_n$ есть тождественная константа.

Почему?

Потому, что каждый член последовательности при любом $A_n$ равен коснтанте.
$A_n = \lim\limits _{N\to \infty}{\prod\limits_{l=1}^{N}{ a_n^l} }= \dfrac{e}{e^{n^{1/l^2}}} = { e^{ N - \sum\limits_{l=1}^{N}{n^{1/l^2}} } }$. Итого задача свелась к вопросу сходимости ряда $\sum\limits^{\infty}_{l=1}(1- n^{1/l^2} )$. Очевидно, ряд сходится, ибо сходится $\sum\limits^{\infty}_{l=1}{\alpha_l}$, где $\alpha_{l}$ - из представления $n^{1/l^2 } = 1+\alpha_{l}$. Последний ряд сходится, ибо его члены есть $O\left(\dfrac{1}{l^2}\right)$.

[svv]

(Оффтоп)

$a_n^{\ell}=\begin{cases}1,&n<\ell\\ 2^{2\ell-n},&n\geqslant\ell\end{cases}$

$\begin{matrix}&n=0&n=1&n=2&n=3&n=4&\cdots\\\ell=0&2^{0}&2^{-1}&2^{-2}&2^{-3}&2^{-4}&\cdots\\\ell=1&1&2^{1}&2^{0}&2^{-1}&2^{-2}&\cdots\\\ell=2&1&1&2^{2}&2^{1}&2^{0}&\cdots\\\ell=3&1&1&1&2^{3}&2^{2}&\cdots\\\ell=4&1&1&1&1&2^{4}&\cdots\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\end{matrix}$

.

[Otta]

Terraniux в сообщении #837726 писал(а):

при любом $A_n$ равен коснтанте.

Зависящей от $n$, вообще говоря.

Terraniux в сообщении #837726 писал(а):

Итого задача свелась к вопросу сходимости ряда $\sum\limits^{\infty}_{l=1}(1- n^{1/l^2} )$. Очевидно, ряд сходится,

Да, сходится, но его сумма тоже зависит от $n$. Не факт, что она не стремится к нулю. Более того, все говорит за то, что стремится.

[Terraniux]

Otta в сообщении #837784 писал(а):

Terraniux в сообщении #837726 писал(а):

при любом $A_n$ равен коснтанте.

Зависящей от $n$, вообще говоря.

Terraniux в сообщении #837726 писал(а):

Итого задача свелась к вопросу сходимости ряда $\sum\limits^{\infty}_{l=1}(1- n^{1/l^2} )$. Очевидно, ряд сходится,

Да, сходится, но его сумма тоже зависит от $n$. Не факт, что она не стремится к нулю. Более того, все говорит за то, что стремится.

Сумма $\to 0$, а произведение $\to 1$, разве нет?

[Otta]

Terraniux в сообщении #837946 писал(а):

Сумма $\to 0$, а произведение $\to 1$, разве нет?

Да почему же?
У меня вот произведение совершенно спокойно стремится к нулю, причем экспоненциально убывая.
Как Вы обосновывали желаемое?