По поводу решения задачи Пфаффа

[evgeniy]

В случае выполнения условия интегрируемости уравнения Пфаффа, решение строится во всех точках области интегрирования. Но оказывается, что решение можно построить и при не выполнении условия интегрируемости, только решение строится не во всех точках области решения уравнения Пфаффа. На некоторых кривых линиях решение не однозначно.
Рассмотрим не интегрируемую задачу Пфаффа $ydx-xdy+zdx=A_x dx+A_y dy+A_z dz=0$. Составим уравнение в частных производных
$ y\frac{\partial \varphi}{\partial x}- x\frac{\partial \varphi}{\partial y}+ z\frac{\partial \varphi}{\partial z}$
Построим дифференциальное уравнение характеристик
$\frac{dx}{y}=-\frac{dy}{x}=dt$
$\frac{dy}{-x}=\frac{dz}{z}=dt$
Имеем первые интегралы $x^2+y^2=c_1^2$, из второго уравнения имеем
$\frac{dy}{\sqrt{c_1^2-y^2}}=-\frac{dz}{z}$
Т.е. имеем первый интеграл $\arcsin\frac{y}{c_1}+lnz=\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+lnz =c_2$.
Т.е. имеем $\varphi=F[x^2+y^2,\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+lnz] $, где величина функции произвольна. Т.е. необходимо чтобы локально интегрируемая система уравнения перешла в глобально интегрируемую систему уравнений. Обозначим величину
$\frac{\partial \varphi}{\partial x}=B_x(x,y,z), \frac{\partial \varphi}{\partial y}=B_y(x,y,z) $,
$\frac{\partial \varphi}{\partial z}=B_z(x,y,z) $,

Тогда имеем задачу, эквивалентную уравнению Пфаффа
$\frac{\partial \psi}{\partial x}dx+ \frac{\partial \psi}{\partial y}dy+ \frac{\partial \psi}{\partial z}dz=0$,

$\frac{\partial \psi}{\partial x}B_x(x,y,z)+ \frac{\partial \psi}{\partial y}B_y(x,y,z)+ \frac{\partial \psi}{\partial z}B_z(x,y,z)=0,\eqno(1) $

Где произвольное поле векторов $B_x(x,y,z), B_y(x,y,z), B_z(x,y,z) $,

определяет произвольные направления $\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz}$. Варьируя зависимостью функции $\varphi$ от двух первых интегралов этого можно добиться. Эта система (1) уравнений должна быть глобально интегрируемой.
Теорема 1. Система уравнений характеристик (2), полученная из (1), имеет первые интегралы, кроме некоторых особых точек. При соответствующей гладкости правых частей (2).
Будем решать систему нелинейных уравнений (2)
$\frac{dx}{dz}=\frac{B_x(x,y,z)}{B_z(x,y,z)} $;
$\frac{dy}{dz}=\frac{B_y(x,y,z)}{B_z(x,y,z)};\eqno(2) $

Решение этой системы нелинейных уравнений $x=g(z,x_0,y_0),y=h(z,x_0,y_0) $должно быть глобально разрешенным относительно $x_0,y_0$, необходимым условием является локальная разрешимость этой системы нелинейных алгебраических уравнений. Т.е. определитель должен быть отличен от нуля.
$\frac{\partial g}{\partial x_0}\frac{\partial h}{\partial y_0}- \frac{\partial g}{\partial y_0}\frac{\partial h}{\partial x_0}\ne 0\eqno(3) $
Из локальной разрешимости следует глобальная разрешимость, т.е. должны определяться константы $x_0,y_0$ в области локальной разрешимости. Докажем это. Справедливо равенство, полученное дифференцированием формул $x=g(z,x_0,y_0),y=h(z,x_0,y_0) $ по величине x
$\frac{\partial g}{\partial z}\frac{B_z(x,y,z)}{B_x(x,y,z)}+\frac{\partial g}{\partial x_0}\frac{dx_{0x}}{dx}+\frac{\partial g}{\partial y_0}\frac{dy_{0x}}{dx}=1\eqno(4) $
$\frac{dh}{dz}\frac{B_z(x,y,z)}{B_x(x,y,z)}+\frac{\partial h}{\partial x_0}\frac{dx_{0x}}{dx}+\frac{\partial h}{\partial y_0}\frac{dy_{0x}}{dx}=0$
Т.е. для получения дифференциального уравнения относительно $\frac{dx_{0x}}{dx},\frac{dy_{0x}}{dx}$ необходима локальная разрешимость системы двух линейных уравнений (4) относительно этих двух производных. Решая полученное уравнение найдем $x_0=x_{0x}(x),y_0=y_{0x}(x,y_0) $, так как начальные условия этого дифференциального уравнения определятся из локального решения в начальной точке.
Кроме того, составим дифференциальное уравнение относительно $\frac{dx_{0y}}{dy},\frac{dy_{0y}}{dy}$. Получим $x_0=x_{0y}(y,x_0),y_0=y_{0y}(y) $, так как начальные условия этого дифференциального уравнения определятся из локального решения в начальной точке.
Получив глобальные решения систем дифференциальных уравнений, получим
$x_0=x_{0x}(x)=x_{0x}[h[z, x_{0x}(x),y_{0y}(y)]] $

$y_0=y_{0y}(y)=y_{0y}[g[z, x_{0x}(x),y_{0y}(y)]] $

Т.е. решение системы уравнений (2) имеет первые интегралы $h_1(x,y,z)=x_0;h_2(x,y,z)=y_0$ в случае не равенства нулю определителя (3), который является также определителем системы (4).
Конец доказательства.
Теорема 2. Два первых интеграла $h_1(x,y,z)=x_0;h_2(x,y,z)=y_0$ системы (2) с помощью функции $\psi=G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)] $ определяют потенциал задачи Пфаффа.
Величина $\psi$ определится по формуле $\psi=G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)] $. Причем градиент $\operatorname{grad} \psi$ определится единственным образом с точностью до постоянного множителя. Значит, совпадает с величиной $A_x,A_y,A_z$, с точностью до переменного множителя. Докажем это. Вычисляем функцию $\psi=G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)]$, чтобы выполнялось $\frac{\partial \psi}{\partial x}=\alpha A_x; \frac{\partial \psi}{\partial y}=\alpha A_y; \frac{\partial \psi}{\partial z}=\alpha A_z$ , так как нормальная поверхность к полю векторов определяется однозначно с точностью до множителя. Имеем два уравнения $\frac{\partial \psi}{A_x \partial x}=\frac{\partial \psi}{A_y \partial y}=\alpha$;
$\frac{\partial \psi}{A_x \partial x}=\frac{\partial \psi}{A_z \partial z}=\alpha$
Разлагаем функцию $G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)] $ в ряд по степеням $h_1(x,y,z),h_2(x,y,z) $, получим
$G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)]=a_{00}+a_{10}h_1+a_{01}h_2+a_{11}h_1^2+a_{22}h_2^2+a_{12}h_1h_2+…$
Из этих двух уравнений определим с точностью до множителя коэффициенты $a_{ik}$. Подставим в уравнение $\frac{\partial \psi}{\partial x}=\alpha A_x$ и определим функцию $\alpha$ с точностью до постоянного множителя.

Получим потенциал $\psi=G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)] $. Если аргументы меняются таким образом, что потенциал постоянен, получаем линию уровня. Т.е. удовлетворяется уравнение $A_x dx+A_y dy+A_z dz=0$ при изменении аргументов вдоль линии уровня. При этом $\frac{\partial \psi}{\partial x}=A_x,\frac{\partial \psi}{\partial y}=A_y , \frac{\partial \psi}{\partial z}=A_z$. Т.е. имеем линии уровня, вдоль которых имеем постоянное значение потенциала.
Конец доказательства.
Теорема 3.
Решение трехмерной задачи Пфаффа в общем случае не однозначно на двух кривых в случае не выполнения условий интегрирования уравнения Пфаффа. Но при этом в точках, отличных от этих кривых задача Пфаффа решается.
Доказательство.
Равенство определителя (3) нулю, полученного дифференцированием по x, и другого определителя, полученного дифференцированием по y, реализуется на поверхности $H_1(y,x_0,y_0)=0, H_2(x,x_0,y_0)=0$. При этом имеется зависимость, чтобы линейная система имела решение $g_1(x,x_0,y_0)=0;g_2(y,x_0,y_0)=0$. Дело в том, что линейная система уравнений с нулевым определителем имеет решение, при определенных значениях правой части этого дифференциального уравнения. Итого имеем $P_1(x,x_0)=0, P_2(y,x_0)=0, P_3(z,x_0)=0$. Причем решение линейной системы уравнений определяется с точностью до константы на определенной кривой линии, т.е. на кривой линии имеем зависимость $\psi=G[h_1(x,y,z,c),h_2(x,y,z,c)] $. Значит на кривой линии получаем не однозначное решение.
Теоремы 2 требует, чтобы существовали два первых интеграла системы (1), и как следствие системы (2). При выполнении этого условия решение задачи Пфаффа определится. С помощью теоремы 1 строится два первых интеграла системы (2). При доказательстве теоремы 1, должно выполняться условие локальной разрешимости решения обыкновенного дифференциального уравнения (2) относительно начальных условий, т.е. в некоторых точках, где определитель равен нулю, решение не однозначно. Причем после нарушения условия построения первого интеграла, первые интегралы можно строить заново. В случае выполнения условия интегрируемости уравнения Пфаффа, таких нарушений нет, решение строится во всех точках.

[пианист]

Если я правильно понял, и Вы решаете систему:
$A_x=y$,
$A_y=-x$,
$A_z=z$,
то это вряд ли: из первых двух уравнений получаем следствие $1=-1$.
А в принципе ситуация, когда условие интегрируемости выполняется не тождественно, вполне возможна. В Вашем случае, скажем, такой пример можно построить, только в правой части должны быть не только независимые переменные, но и $A$.

[evgeniy]

Это принципиальное отличие от задачи Пфаффа, правая часть нулевая. Т.е. интегрировать надо по замкнутому контуру. Тогда разомкнув его получим два равных интеграла. В общем случае поставленная мною задача не имеет решения, так как не выполняются условия интегрирования задачи Пфаффа. Но если рассматривать задачу Пфаффа не для всей области интегрирования, то она имеет решение. В этом особенность предлагаемой идеи интегрирования уравнения Пфаффа.

-- Чт мар 13, 2014 16:48:32 --

evgeniy в сообщении #836336 писал(а):

$ydx-xdy+zdx=A_x dx+A_y dy+A_z dz=0$

Я кажется вас не совсем понял. Левый член эквивалентен среднему члену и оба они равны нулю.

[пианист]

Так если равен, то выписанный диффур таки имеет место, вместе со своим следствием.
От того, что Вы еще добавите условий, пустому множеству легче не станет.

[shwedka]

Цитата:

Рассмотрим не интегрируемую задачу Пфаффа $ydx-xdy+zdx=A_x dx+A_y dy+A_z dz=0$.

Напишите формулу для Вашего решения A.

Цитата:

Но если рассматривать задачу Пфаффа не для всей области интегрирования,

Укажите, в какой области рассматриваете задачу.

[Oleg Zubelevich]

поста до конца не читал, только первые несколько фраз. Но посылка совершенно верная. Например, система уравнений

$$u_x=u,\quad u_y=u^2,\quad u=u(x,y)$$

не удовлетворяет условиям интегрируемости (topic75491.html), но частное решение есть $u\equiv 0$

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #836336 писал(а):

Будем решать систему нелинейных уравнений (2)
$\frac{dx}{dz}=\frac{B_x(x,y,z)}{B_z(x,y,z)} $;
$\frac{dy}{dz}=\frac{B_y(x,y,z)}{B_z(x,y,z)};\eqno(2) $

Чтобы написать формулу для решения, нужно решить систему (2). Я доказал, что эта система уравнений имеет первые интегралы, но не во всей области, а исключая некоторые кривые. Формула для решения - потенциала

evgeniy в сообщении #836336 писал(а):

$\psi=G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)] $.

где $h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)$ первые интегралы системы (2), а функция G определяется из условия

evgeniy в сообщении #836336 писал(а):

Причем градиент $\operatorname{grad} \psi$ определится единственным образом с точностью до постоянного множителя. Значит, совпадает с величиной $A_x,A_y,A_z$, с точностью до переменного множителя. Докажем это. Вычисляем функцию $\psi=G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)]$, чтобы выполнялось $\frac{\partial \psi}{\partial x}=\alpha A_x; \frac{\partial \psi}{\partial y}=\alpha A_y; \frac{\partial \psi}{\partial z}=\alpha A_z$ , так как нормальная поверхность к полю векторов определяется однозначно с точностью до множителя. Имеем два уравнения $\frac{\partial \psi}{A_x \partial x}=\frac{\partial \psi}{A_y \partial y}=\alpha$;
$\frac{\partial \psi}{A_x \partial x}=\frac{\partial \psi}{A_z \partial z}=\alpha$
Разлагаем функцию $G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)] $ в ряд по степеням $h_1(x,y,z),h_2(x,y,z) $, получим
$G[h_1(x,y,z),h_2(x,y,z)]=a_{00}+a_{10}h_1+a_{01}h_2+a_{11}h_1^2+a_{22}h_2^2+a_{12}h_1h_2+…$
Из этих двух уравнений определим с точностью до множителя коэффициенты $a_{ik}$. Подставим в уравнение $\frac{\partial \psi}{\partial x}=\alpha A_x$ и определим функцию $\alpha$ с точностью до постоянного множителя.

.
Область решения, это область существования правых частей дифференциального уравнения (2). При этом первые интегралы этого уравнения существуют в еще меньшей области, исключаются некоторые кривые.

-- Пт мар 14, 2014 13:22:18 --

пианист в сообщении #836483 писал(а):

Так если равен, то выписанный диффур таки имеет место, вместе со своим следствием.
От того, что Вы еще добавите условий, пустому множеству легче не станет.

Выражайтесь точнее, иначе Вас не понять, "так если равен", что чему равно. С каким следствием. Выражайтесь точнее.

[shwedka]

Вы, как всегда, уходите от ответа. ПОвторяю вопрос.
1. Для рассмотренной Вами системы приведите формулу решения А.
$ydx-xdy+zdz=A_x dx+A_y dy+A_z dz=0$.
То есть, $A_x=y, A_y=-x, A_z=z$
2. В какой области это будет решением?

конкретно, а не 'надо решить', 'надо разложить'....

Ведь у ВАс все ряды сходятся и все уравнения решаются.

[evgeniy]

Я дал Вам конкретный ответ в виде алгоритма решения. Решить систему нелинейных дифференциальных уравнений я не могу, она записана в общем виде. Даже если я запишу систему (2) для предлагаемой мною задачи, решать в виде формулы ее невозможно, ее надо многократно интегрировать для разных функций

evgeniy в сообщении #836336 писал(а):

$\varphi=F[x^2+y^2,\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\ln|z|] $

и решать численно.
Но судя по записанному значению функции, область интегрирования вся числовая ось для каждой переменной, кроме начала координат. Логарифм берется по модулю.
Получить конечную формулу в виде решения невозможно. Но можно представить ее вид, указав как считаются коэффициенты для каждой функции F. Т.е. решение зависит от вида функции F, а она в свою очередь зависит от пути интегрирования. Но с помощью предлагаемого алгоритма для каждой функции F выполняется

evgeniy в сообщении #836336 писал(а):

$\frac{\partial \psi}{\partial x}=A_x,\frac{\partial \psi}{\partial y}=A_y , \frac{\partial \psi}{\partial z}=A_z$

т.е. справедливо решение задачи Пфаффа, исключая кривую линию.

[shwedka]

Цитата:

Но можно представить ее вид, указав как считаются коэффициенты для каждой функции F.

Обычное Ваше жульничество.
Формулы нет. Доказательства нет.

Цитата:

Из локальной разрешимости следует глобальная разрешимость

Грубая ошибка

Цитата:

Где произвольное поле векторов $B_x(x,y,z), B_y(x,y,z), B_z(x,y,z) $,

определяет произвольные направления $\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz}$

Грубая ошибка. Это поле совсем не произвольное, а
$B_x=\partial \varphi/ \partial x,...$ Совсем не произвольное поле может быть градиентом.

можно представить вид... Если можно, представьте. Или докажите разрешимость!
Только, как только напишете какие-то ряды, сразу докажите, что они сходятся. Иначе-- обман!

[evgeniy]

shwedka Вы не внимательно читаете текст первого поста

evgeniy в сообщении #836336 писал(а):

Где произвольное поле векторов $B_x(x,y,z), B_y(x,y,z), B_z(x,y,z) $,

определяет произвольные направления $\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz}$. Варьируя зависимостью функции $\varphi$ от двух первых интегралов этого можно добиться.

где величина $\varphi$ равна произвольной функции F

evgeniy в сообщении #836336 писал(а):

$\varphi=F[x^2+y^2,\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+lnz] $

Варьируется произвольная зависимость от двух функций, при этом можно определить величину $\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz}$. Градиент этой функции тоже содержит произвольную зависимость от двух аргументов.

shwedka в сообщении #836871 писал(а):

Цитата:

Из локальной разрешимости следует глобальная разрешимость
Грубая ошибка

Бездоказательное утверждение. На самом деле доказательство приведено. Читайте текст теоремы 1.

shwedka в сообщении #836871 писал(а):

Цитата:

Где произвольное поле векторов $B_x(x,y,z), B_y(x,y,z), B_z(x,y,z) $,

определяет произвольные направления $\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz}$
Грубая ошибка. Это поле совсем не произвольное, а
$B_x=\partial \varphi/ \partial x,...$ Совсем не произвольное поле может быть градиентом.

можно представить вид... Если можно, представьте. Или докажите разрешимость!
Только, как только напишете какие-то ряды, сразу докажите, что они сходятся. Иначе-- обман!

Функция $\varphi$ произвольная функция двух аргументов. Градиент от этой функции содержит произвольную зависимость от двух аргументов. Варьируя эту зависимость определяется направления $\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz}$

-- Пн мар 17, 2014 09:59:55 --

Имеем формулу
$\frac{dx}{dz}=\frac{\partial F(x^2+y^2,\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\ln |z|)}{\partial x}/\frac{\partial F(x^2+y^2,\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\ln|z|)}{\partial z}$
$\frac{dy}{dz}=\frac{\partial F(x^2+y^2,\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\ln|z|)}{\partial y}/\frac{\partial F(x^2+y^2,\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\ln|z|)}{\partial z}$
Из этого функционального уравнения определится вид функции F.
$\frac{dx}{dz}=\frac{\partial b_{00}+b_{10}(x^2+y^2)+b_{10}(\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\ln |z|)+...}{\partial x}/\frac{\partial b_{00}+b_{10}(x^2+y^2)+b_{01}(\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\ln|z|)+...}{\partial z}$
$\frac{dy}{dz}=\frac{\partial b_{00}+b_{10}(x^2+y^2)+b_{10}(\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\ln |z|)+...}{\partial y}/\frac{\partial b_{00}+b_{10}(x^2+y^2)+b_{01}(\arcsin\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\ln|z|)+...}{\partial z}$
определив коэффициенты $b_{ik}$, найдем радиус сходимости этого ряда. При этом аргументы этого ряда выбираем меньше радиуса сходимости, т.е. определяем абсолютную сходимость ряда.

[shwedka]

Цитата:

На самом деле доказательство приведено.

Доказательство отсутствует. ПО своей обычной безграмотности, Вы не отличаете необходимых условий от достаточных.

Цитата:

Т.е. для получения дифференциального уравнения относительно $\frac{dx_{0x}}{dx},\frac{dy_{0x}}{dx}$ необходима локальная разрешимость системы двух линейных уравнений (4) относительно этих двух производных.

Да, необходима, но совсем не достаточна для глобальной разрешимости.

Цитата:

определив коэффициенты $b_{ik}$, найдем радиус сходимости этого ряда

Вот и найдите. Почему этот радиус не ноль?

И, вообще!
Вы взялись опровергать классический общепризнанный результат, теорему Фробениуса о Пфаффовых системех. Ваши измышления заслуживают хоть какого-то внимания, если Вы представите безупречное, подробное во всех деталях доказательство. Вы на таке неспособны, только размахиваете руками. Никаких 'можно найти', 'можно решить', 'можно выбрать'. Будет можно, когда докажете. А не докажете.
решите явно простейший пример

$x_3dx_1+dx_2=0$
Альтернативно, возьмите доказательство теоремы Фробениуса и укажите ошибку в нем.

[evgeniy]

shwedka в сообщении #837843 писал(а):

Цитата:

Т.е. для получения дифференциального уравнения относительно $\frac{dx_{0x}}{dx},\frac{dy_{0x}}{dx}$ необходима локальная разрешимость системы двух линейных уравнений (4) относительно этих двух производных.
Да, необходима, но совсем не достаточна для глобальной разрешимости.

В том то и дело, что достаточна. Тогда имеется дифференциальное уравнение
$\frac{dx_{0x}}{dx}=G_1(x_0,y_0,x),\frac{dy_{0x}}{dx}=G_2(x_0,y_0,x)$
Решая это дифференциальное уравнение, получим $x_0=g(x),y_0=h(x,y_0)$, где начальное условие получается из локальной разрешимости задачи по определению $x_0,y_0$.
Далее читайте по тексту теоремы 1. Я доказал очень интересную теорему о первых интегралах системы нелинейных уравнений. Первые глобальные интегралы существуют кроме точек, где определитель (2) равен нулю.
Существуют такие направления $\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz}$, что радиус сходимости не равен нулю, и в этих направлениях имеем решение задачи Пфаффа.
Я не опровергаю решение Фробениуса задачи Пфаффа, которая определяет существование решения на всей декартовой плоскости, а дополняю его, находя условие, когда уравнение Пфаффа имеет решение не во всей декартовой плоскости.

[shwedka]

Цитата:

Решая это дифференциальное уравнение,

Не все уравнения имеют глобальное решение.

Цитата:

Я доказал очень интересную теорему

Доказательство основано на размахивании руками.

Цитата:

Первые глобальные интегралы существуют кроме точек, где определитель (2) равен нулю.

Не доказано.

Цитата:

Существуют такие направления $\frac{dx}{dz},\frac{dy}{dz}$, что радиус сходимости не равен нулю

Это утверждение всего лишь выражает мнение автора.

Цитата:

Я не опровергаю решение Фробениуса задачи Пфаффа, которая определяет существование решения на всей декартовой плоскости

Условие Фробениуса дифференциальное, оно, следовательно, локально и определяет локальную разрешимость.
Оно именно и означает, что некоторая система совместна.

Повторяю, если Вы попытаетесь решать уравнение
$x_3dx_1+dx_2=0$,
Вы очень скоро придете к уравнениям, у которых нет решения.

Покажите решение этого уравнения.

[evgeniy]

shwedka в сообщении #837885 писал(а):

Цитата:

Решая это дифференциальное уравнение,
Не все уравнения имеют глобальное решение.

Вы уже договорились до абсурда. Существуют условия, когда задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнениях имеет глобальное решение. Если я не ошибаюсь, сегодня же посмотрю литературу, для этого необходимое и достаточное условие непрерывность правой части и выполнение условий Липшица.

shwedka в сообщении #837885 писал(а):

Цитата:

Я доказал очень интересную теорему
Доказательство основано на размахивании руками.
Цитата:
Первые глобальные интегралы существуют кроме точек, где определитель (2) равен нулю.
Не доказано.

Голословное утверждение. Конкретно, где в теореме 1 допущена ошибка.

shwedka в сообщении #837885 писал(а):

Цитата:

Я не опровергаю решение Фробениуса задачи Пфаффа, которая определяет существование решения на всей декартовой плоскости Условие Фробениуса дифференциальное, оно, следовательно, локально и определяет локальную разрешимость.
Оно именно и означает, что некоторая система совместна.

Как Вы себе представляете интегрирование уравнений Пфаффа из одной точки в другую, если условия локальны. Условия интегрирования выполняются в глобальной области.

shwedka в сообщении #837885 писал(а):

Повторяю, если Вы попытаетесь решать уравнение
$x_3dx_1+dx_2=0$,
Вы очень скоро придете к уравнениям, у которых нет решения.

Должен сказать, что это бессмысленное предложение. Что за переменная $x_3$ и от чего она зависит. Кроме того, в случае двух переменных задача Пфаффа в этой постановке сводится к дифференциальному уравнению $\frac{dx_2}{dx_1}=-x_3(x_1,x_2)$, которое можно проинтегрировать. Задача Пфаффа в этой постановке определена минимум для трех переменных. Для двух переменных находится интегрирующий множитель, который решает задачу $x_3dx_1+dx_2=dU$, и определяется из уравнения
$\frac{\partial \mu A_1}{\partial x_2}=\frac{\partial \mu A_2}{\partial x_1}$
а в постановке $x_3dx_1+dx_2=0$ задача решается

-- Пн мар 17, 2014 17:58:23 --

shwedka зачем нам ломать копья. Я посмотрел формулировку решения задачи Пфаффа. Там четко говорится, что в случае не выполнения условия интегрирования, задача может иметь решение не на поверхности, а на отдельных кривых, о чем я Вам и доказывал.
У меня закончилось время интернета, до вторника.