Бесконечная трёхдиагональная матрица (кванты)

[DewDrop]

Найти собственные значения и собственные векторы бесконечной трехдиагональной матрицы $\hat{A}$, элементы которой:
$A_{nn}=E, A_{n{n\pm1}}$=V (E и V веществены). Все остальные элементы равны 0.
Для примерного представления картинка общего вида трехдиагональной матрицы:

Пытался использовать общую формулу определителя, но там сложно получается. Нужна идея.

[iifat]

А третья диагональ? И что за общая формула определителя для бесконечной матрицы?

[DewDrop]

Что третья диагональ? оговорился, имел виду общую формулу определителя матрицы nxn

[Ms-dos4]

Ну найти сам определитель матрицы (произвольного размера) легко,
$\[{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} E&V&0&0\\ V&E&{...}&0\\ 0&{...}&{...}&V\\ 0&0&V&E \end{array}} \right|_n} = {\Delta _n}\]$

$\[{\Delta _n} = E \cdot {\Delta _{n - 1}} + V{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} V&0&{...}&0\\ 0&E&{...}&0\\ {...}&{...}&{...}&E\\ 0&{...}&0&V \end{array}} \right|_{n - 1}} = E \cdot {\Delta _{n - 1}} + {V^2}{\left| {\begin{array}{*{20}{c}} E&V&0&0\\ V&E&{...}&0\\ 0&{...}&{...}&V\\ 0&0&V&E \end{array}} \right|_{n - 2}}\]$

$\[{\Delta _n} = E{\Delta _{n - 1}} + {V^2}{\Delta _{n - 2}}\]$

Теперь разрешить рекуррентное уравнение и всё.

Но не факт, что это подойдёт для бесконечной матрицы, определитель легко может устремится к бесконечности.

P.S.А конкретно задание какое?

[DewDrop]

Найти собственные значения и собственные векторы

[DewDrop]

Ms-dos4, там перед $V^2$ минус

[zer0]

Там не рекуррентное. Раз бесконечная, считаем все дельты равными.

[g______d]

Переходим в Фурье-представление, получаем оператор $E+2V\cos(2\pi\theta)$ в $L_2[0,1]$ (на окружности). Следовательно, спектр чисто абсолютно непрерывный, кратности 2 и занимает отрезок $[E-2V,E+2V]$.

[DewDrop]

Сегодня на семинаре разобрали эту задачу. Спектр действительно получается таким как и у g______d, но решали по другому:
При нахождении собственных чисел в общем случае мы получаем систему из n уравнений вида:
$Va_{n-1}+(E-\lambda)a_n +Va_{n+1}=0$
Будем искать $a_n$ в виде $a_n$=$Сe^{qn}$.
Подставляя в исходное уравнение получим: $\lambda=E+2V\ch{x}$
q в общем случае комплексное $q=\varkappa + i\kappa$. Подставляя и учитывая что, $\lambda$ действительны и условие ограниченности с ростом n получим, что $\lambda=E+2V\cos{\kappa}$.
Добавил, что это похоже на закон дисперсии в периодической среде (с ограничением по $\kappa$).

[g______d]

DewDrop в сообщении #837832 писал(а):

Добавил, что это похоже на закон дисперсии в периодической среде (с ограничением по $\kappa$).

Это и есть периодическая среда, дискретная, с периодом 1 (тривиальный случай). Ограничение по $\kappa$ возникает, грубо говоря, потому что расстояния ограничены снизу и дискретный оператор Лапласа ограничен.

В случае произвольного периода тоже можно разложить в ряд Фурье, но с другим шагом, равным периоду (т. е. коэффициенты Фурье будут векторами, а у соответствующего оператора — матрицами). Такую процедуру называют разложением по блоховским решениям или преобразованием Флоке, а двойственную по Фурье переменную квазиимпульсом.

Тот факт, что ограниченные решения соответствуют абсолютно непрерывному спектру, до некоторой степени верен (в частности, во всех учебных задачах), но общая точная формулировка и доказательство очень сложны, а в многомерном случае неизвестны.

[BasilKrzh]

Позвольте подниму тему
Как учесть разницу между матрицей, бесконечной в обе стороны и бесконечной в одну сторону (или конечной большой матрицей)?
Есть ли какой-нибудь математически строгий путь решения этой задачи (не используя непонятно откуда взявшийся вид решения и не заменяя коэффициенты (функции $a_n : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{C}$) на достаточно хорошиt функции $a(n) \in L^1(\mathbb{C})$ для того, чтобы использовать преобразование Фурье) ?

[BasilKrzh]

Ну или хоть пошлите читать какую-нибудь книжку...