Некорректная задача для волнового уравнения

[Samir]

Дано уравнение колебания струны на области $D= \lbrace t>0, 0<x<l \rbrace $

$$u_{tt}-a^2u_{xx}=0$$

С начальными условиями:

$$u|_{t=0}=\varphi(x)$$

$$u_{t}|_{t=0}=\psi(x)$$

Почему ограничение $0<x<l$ приводит к тому, что эта задача становится некорректной?

[Ms-dos4]

Граничные условия где?

[Samir]

А если граничные условия не заданы, то почему задача является некорректной? Не существует единственного решения?

[Ms-dos4]

Samir
1)Вспомните, когда задача является некорректной
2)Попробуйте решить данную задачу без граничных условий. Сразу увидите, в каком пункте проблема.

[Samir]

Ms-dos4 в сообщении #837597 писал(а):

Samir
1)Вспомните, когда задача является некорректной
2)Попробуйте решить данную задачу без граничных условий. Сразу увидите, в каком пункте проблема.

Просто я не могу сообразить, почему когда ограничений на $x$ нет, то эта задача имеет одно решение, а когда есть, то не одно. Может, как-то это графически возможно интерпретировать.

[Ms-dos4]

Samir
Потому, что возмущение убегает на бесконечность в случае бесконечной струны. А в случае ограниченной, они как то взаимодействуют с концами струны. Вот как - это и зависит от граничных условий.

[Samir]

Теперь понятно. Спасибо большое

-- Вс мар 16, 2014 21:26:39 --

Все равно не доходит. Почему решение задачи в случае любого x не может быть просто сокращено на отрезок $0<x<l$?

[Ms-dos4]

Ещё раз. Волны то взаимодействуют с концами, и отражаются от них по определённому закону (который зависит от краевых условий). А когда у вас струна бесконечная, там волна убежала на бесконечность и всё, она назад уже не вернётся.
С физической точки зрения, бесконечная струна, это когда концы очень далеко, и вы наблюдаете возмущение в какой-то точке короткий промежуток времени, пока отражённая волна от концов обратно не добежала. Там вам всё равно, что с ней на концах случится, вы всё равно наблюдать это не будете. А когда вы наблюдаете более продолжительный промежуток времени, или концы близко, вы обязаны учитывать отражённые волны.

А как их учесть (заранее, до наблюдения), если у вы не знаете, что с ней случается на концах? Вот и получается, что возможны "все сценарии". А если вы задали краевые условия, решение будет единственно.

[Samir]

Спасибо огромное . Сейчас точно понял

[Munin]

Samir в сообщении #837689 писал(а):

Почему решение задачи в случае любого x не может быть просто сокращено на отрезок $0<x<l$?

Может. Но такой отрезок тогда стоит воспринимать как участок бесконечной струны. И что произойдёт? На других участках тоже будут какие-то начальные условия. От них побегут волны (неизвестные) вправо и влево. В том числе, и на ваш отрезок $0<x<l.$ А вы их не знаете - значит, не знаете и решения.

Таким образом, если у вас задано начальное условие на отрезке $0<x<l,$ то решение можно найти - но только внутри треугольника в пространстве-времени, ограниченного линиями $t=0,$ $x=at,$ $x=l-at.$ Нарисуйте на координатной плоскости этот треугольник, и поймёте, о чём речь. Все точки вне этого треугольника - будут причинно зависеть не только от известных вам начальных условий на отрезке $0<x<l,$ но и от неизвестных вам начальных условий вне этого отрезка.

Вообще, это применимо и к другим областям решения задачи: если вы проведёте диагональные линии под углом $a,$ то найдёте границы области, в которой решение может быть определено, и области, в которой оно определено быть не может. Этот приём используют при заменах переменных из каких-то других гиперболических уравнений.

Линии вида $x=\pm at+x_0$ называются характеристиками гиперболического уравнения.

Вам ещё повезло, что уравнение не параболическое. В параболическом уравнении волны могут распространяться со сколь угодно большой скоростью, и значит, нельзя провести никакого треугольника, в котором можно найти решение. Придётся обязательно задавать граничные условия, а если область бесконечная - условия на бесконечности.

[Ms-dos4]

Munin

(Оффтоп)

Просто в таком случае говорить, что у нас есть корректное решение на $\[[0,l]\]$ нельзя. Собственно, бесконечная струна и означает наблюдение определённый интервал времени (физически то бесконечных струн не бывает), когда отражённые волны можно не учитывать.

[Munin]

(Оффтоп)

Ms-dos4 в сообщении #837725 писал(а):

Просто в таком случае говорить, что у нас есть корректное решение на $\[[0,l]\]$ нельзя.

Да, оно решение на указанной мной области плоскости $(x,t),$ а эта область - внутри полосы $0<x<l,$ и её не покрывает ни на каком интервале времени.

Ms-dos4 в сообщении #837725 писал(а):

физически то бесконечных струн не бывает

Ну, зато бывают аналогичные ситуации типа электромагнитного поля, заданного в бесконечном пространстве. Правда, это тоже условность, потому что реально мы всё равно рассматриваем некоторый пусть большой, но ограниченный объём, а не всю Вселенную. И обычно даже лабораторный 1 м - объём достаточно большой, если мы изучаем поля в масштабах мкм, и может считаться "условной бесконечностью". Ладно, болтать за жизнь можно неограниченно, в отличие от практических задач матфизики :-)

[Samir]

Спасибо большое всем за разъяснения. Разобрался

(Оффтоп)

Сдал госы на 9)

[Munin]

(Оффтоп)

Samir в сообщении #838360 писал(а):

Сдал госы на 9)

Это из 100? :-)

[Samir]

(Оффтоп)

Из 10. В нашей стране десятибалльная система)
Правда, попались не ДУЧП, а случайные процессы)