Вопрос по разложению Маклорена от 2-ух переменных

[Otta]

Как выглядит разложение Маклорена (Тейлора в нуле) до второго порядка?
Давайте я начну, а Вы закончите.
Общий вид:
$f(x,y)=c_{00}+c_{10}x+c_{01}y+...$
Напишите, что осталось.

Ssheh в сообщении #837464 писал(а):

Извините, но я не понимаю, что значит

Что, даже предмет? ))

[SpBTimes]

Ssheh

Слушайте, ну сказали же, что по Тейлору - ну никак не выйдет. Каждый синус разложить - выйдет. Но степенного ряда, или многочлена, для всей функции в стандартном понимании не получится. И ничего уж тут не сделать.

А если нужен необычный ряд, то надо понимать: а какой? И в каком смысле?

[Ssheh]

Otta в сообщении #837469 писал(а):

Как выглядит разложение Маклорена (Тейлора в нуле) до второго порядка?
Давайте я начну, а Вы закончите.
Общий вид:
$f(x,y)=c_{00}+c_{10}x+c_{01}y+...$
Напишите, что осталось.

Давайте я лучше распишу, что мне надо :
$\sum^{m}_{k=0}\frac{1}{k!}\sum^{k}_{i=0}C^{i}_k \frac{d^{k}f(x_0;y_0)}{dx^{k-i}dy^{i}}(x-x_0)^{k-i}(y-y_0)^{i} + o(p^{m})$, где $f(x;y)=\frac{\sin x}{\sin y}$, $M_0(0;0)$
Я надеюсь, что вы не сомневаетесь, что я могу подставить m=2 ....

[Otta]

Ssheh в сообщении #837486 писал(а):

Я надеюсь, что вы не сомневаетесь, что я могу подставить m=2 ....

Сомневаюсь.
Подставьте $m=0$.

[Ssheh]

Otta в сообщении #837488 писал(а):

Ssheh в сообщении #837486 писал(а):

Я надеюсь, что вы не сомневаетесь, что я могу подставить m=2 ....

Сомневаюсь.
Подставьте $m=0$.

Позвольте спросить: вы заходите конкретно в этот пост, чтобы помочь или проверить, а делает ли этот форумчанин хоть, что-нибудь, чтобы прийти к результату?
По-моему это не относится к тому вопросу, который я задаю: я пытаюсь узнать, КАК это можно разложить по формуле Тейлора до 2-го порядка, вероятно, можно как-то представить $\frac{\sin x}{\sin y}$ в другом виде, т.к самое первое слагаемое(и не только оно) $f(x_0;y_0)$ у меня получается равным $\frac{0}{0}$(к слову это и будет то слагаемое при m=0).

[Otta]

Ssheh в сообщении #837497 писал(а):

Позвольте спросить: вы заходите конкретно в этот пост, чтобы помочь или проверить, а делает ли этот форумчанин хоть, что-нибудь, чтобы прийти к результату?

Да.
К слову сказать, исчерпывающий ответ на Ваш вопрос - первый же пост. Вам ведь говорили проверить условия теоремы. Позвольте спросить, Вы проверили?

Ssheh в сообщении #837497 писал(а):

$f(x_0;y_0)$ у меня получается равным $\frac{0}{0}$(к слову это и будет то слагаемое при m=0).

Совершенно верно. Итак, Ваша функция не раскладывается по формуле Тейлора даже до нулевого порядка. Просто потому, что не определена в нуле. Чтобы разложить до второго, нужна дважды дифференцируемость в этой точке. Точке, не лежащей в области определения.

[Ssheh]

Otta в сообщении #837505 писал(а):

К слову сказать, исчерпывающий ответ на Ваш вопрос - первый же пост. Вам ведь говорили проверить условия теоремы. Позвольте спросить, Вы проверили?

Да, я проверил и в следующем же сообщении сказал почему нельзя, но...
Пожалуйста, тогда скажите, следует ли из того, что я не могу разложить функцию $f(x;y)=\frac{\sin x}{\sin y}$ в точке M_0(0,0), то что я не могу разложить ее в ряд?
Дело в том, что повторюсь, что преподаватель сказал, что это можно разложить, при условии, что особенность(т.е то, что в М(0,0) она имеет разрыв) сохранится и не получится обычный степенной ряд.

[Otta]

Ssheh в сообщении #837515 писал(а):

то что я не могу разложить ее в ряд?

А вот тут не было уточнений: в какой ряд. Ряды бывают самые разные. Что ряда Тейлора Вы получить не сможете, это очевидно, так в какой ряд Вам предлагалось разложить?
В любом случае, это уже не исходное задание и потому нужна четкая формулировка, что требуется.

(Оффтоп)

Вы партизаните совершенно напрасно. Я спрашиваю про курс, предмет и т.д. не из праздного любопытства. Если курс у Вас первый - требуйте замены задания, это косяк составителя.
Например, на $\sin x/\cos x$.

[Ssheh]

Otta в сообщении #837521 писал(а):

(Оффтоп)
Вы партизаните совершенно напрасно. Я спрашиваю про курс, предмет и т.д. не из праздного любопытства. Если курс у Вас первый - требуйте замены задания, это косяк составителя.
Например, на $\sin x/\cos x$.

Я не партизаню, я же говорю, что спрашивал преподавателя, и он мне совершенно четко ответил, что тут можно разложить в ряд(подробнее выше)( в задании надо разложить по формуле Тейлора). Вот я и пытаюсь выяснить, как же это возможно в ряд разложить.

[Otta]

Но и не отвечаете. Курс - первый?
Требуйте замены.
Вы не обязаны разбираться в материале который рассказывают двумя-тремя годами позже, да и то не во всех вузах. Но если очень хочется, можно поговорить, конечно.

Умножьте Вашу функцию на $y$. Покажите, что после этого ее можно непрерывно доопределить на прямой $y=0$ (в окрестности нуля). Для доопределенной проверьте локальную принадлежность классу аналитических функций в окрестности нуля. Раскладывайте примерно так, как начинали на предыдущей странице. Единственно, так Вы найдете только первые слагаемые ряда. Коэффициент при произвольной степени можно попробовать искать методом неопределенных коэффициентов, типа как ищут разложение тангенса в ряд Тейлора. Но хорошо не будет в любом случае.
После всего этого не забудьте сумму ряда разделить на тот $y$, на который домножали.

... и все это только в том случае, если имелся в виду степенной ряд.

[мат-ламер]

Ssheh в сообщении #837422 писал(а):

Хм..я спросил у преподавателя, и он мне ответил, что все-таки $\frac{\sin x}{\sin y}$ можно разложить в ряд, но "не должен получится обычный степенной ряд". Но как тогда это можно разложить? Можете, пожалуйста, подкинуть какую-нибудь идею?

Можно разложить в ряд Лорана ( с отрицательными степенями).

[ex-math]

Ну рядом Лорана это все-таки лучше не называть.
Ряд Тейлора поделили на $y$ и всех делов.

Но вообще такие задания меня выводят из себя. Вот в одной контрольной для заочников просили разложить в ряд Тейлора $\frac{\sin x-x}{x^3}$. На моей памяти только одна заочница включила голову и написала, что этого сделать нельзя, так как функция не определена в нуле. А все остальные, включая составителя задачи (!), формально действовали с рядом для синуса.

[Ssheh]

И все же преподаватель написал, что это можно разложить: для этого нужно разложить числитель и знаменатель в степенной ряд, после чего разложить знаменатель, в виде (..)^(-1) и 1/y просто вынести за скобку, т.е ничего туда не подставлять, т. е получится что-то вроде 1/y *A(x) + B(x) + y*C(x) , т.е все-таки так как я делал можно было сделать:

Ssheh в сообщении #837313 писал(а):

Раскладываю таким образом: $\sin x=x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3})$ , $\sin y=y - \frac{y^{3}}{6} + o(y^{3})$, далее представляю функцию в виде :
$f(x,y)=(x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}))(y^{-1})(1 - \frac{y^{2}}{6} + o(y^{2}))^{-1}$ и, раскладывая самую правую скобку, получаем : $f(x,y)=(x - \frac{x^{3}}{6} + o(x^{3}))(y^{-1})(1 + \frac{y^{2}}{6} + o(y^{2}))$ и в итоге : $f(x,y)=\frac{x}{y}+ \frac{xy}{6} - \frac{x^{3}}{6y} + 0(p^{2})$

?

И если все-таки так можно делать, то, учитывая то, что мы выносим 1/y за скобку, то слагаемое $ \frac{x^{3}}{6y}$ получается не входит в наш ряд, т.к порядок $p(2)$?

[Otta]

Ну а я Вам что написала?
post837528.html#p837528

Ssheh в сообщении #837975 писал(а):

И если все-таки так можно делать, то, учитывая то, что мы выносим 1/y за скобку, то слагаемое $ \frac{x^{3}}{6y}$ получается не входит в наш ряд, т.к порядок $p(2)$?

В какой ряд? Почему только это слагаемое? О большое при какой базе? к нулю аргумент стремится? так это неправда, не будет там о большого. Термин "до второго порядка" тут не применим в принципе.

Послушайте, Ssheh, Вы хотели консультации по матану - Вам ее предоставили. Когда будете изучать многомерный комплексный анализ, тогда и будет смысл говорить о рядах Лорана в многомерном случае, они, знаете ли, суть весьма поганый объект.

(Это не вам, Ssheh)

Ssheh в сообщении #837975 писал(а):

И если все-таки так можно делать, то, учитывая то, что мы выносим 1/y за скобку, то слагаемое $ \frac{x^{3}}{6y}$ получается не входит в наш ряд, т.к порядок $p(2)$?

Убивала бы таких преподавателей, извините. Вот к этому это все и приводит.
Вместо того, чтобы признать ошибку в составлении задания, выдавать черт знает что ни в чем не повинному студенту.

[Ssheh]

Otta в сообщении #837977 писал(а):

В какой ряд? Почему только это слагаемое? О большое при какой базе? к нулю аргумент стремится? так это неправда, не будет там о большого. Термин "до второго порядка" тут не применим в принципе.

Послушайте, Ssheh, Вы хотели консультации по матану - Вам ее предоставили. Когда будете изучать многомерный комплексный анализ, тогда и будет смысл говорить о рядах Лорана в многомерном случае, они, знаете ли, суть весьма поганый объект.

По порядку:1) мне сказали разложить это по "обобщенному степенному ряду"(с отрицательными степенями y)
2)И если я правильно понял, что от меня требуют, то там получится именно то , что я присылал( только там о малое, извините не заметил(хотя и откуда там взятся О большому, если я расписал, что я применяю разложение по Тейлору?))
3) Мне хотелось бы убедится, я правильно разложил или нет, в плане, синусы и скобка в степени -1 корректно разложена, мне больше интересно то самое слагаемое $ \frac{x^{3}}{6y}$(интерес вызывает то, что после домножения на y это слагаемое будет 3-й степени=> оно мне не годится для разложения до 2-го порядка?)(только это слагаемое, т.к остальные у меня не вызывают трудностей)
4) И еще, если все-таки разложение корректно, то дальше мне надо слагаемые(те которые без $\frac{1}{y}$) подставлять в формулу Тейлора?(т.е, как вы в предыдущих сообщениях объясняли домножить, то что у меня сейчас есть на y , подставить в формулу Тейлора$\sum^{m}_{k=0}\frac{1}{k!}\sum^{k}_{i=0}C^{i}_k \frac{d^{k}f(x_0;y_0)}{dx^{k-i}dy^{i}}(x-x_0)^{k-i}(y-y_0)^{i} + o(p^{m})$, и опять поделить?)