Следствие задачи о распределении простых чисел

[maravan]

Пытаясь найти один из алгоритмов, который бы ответил на вопрос, о закономерности распределения простых чисел в натуральном ряду, наткнулся на интересную дробь:

$\rho=\frac {\ln(\frac {10} {9}) - \psi_\frac {1} {10}(1)} {\ln(10)} = 0,122324243426244526264428344628264449244 \ldots $

где $\psi_q(z)$ - дигамма-функция: http://mathworld.wolfram.com/q-PolygammaFunction.html

Интересность, в том, что позиция цифры после запятой является простым числом, если значение цифры равно числу 2.

Т.о. задача о распределении простых чисел сводится, в частности, к быстрому нахождению значения произвольной цифры в этой дроби.
Если допустить, что есть быстрый алгоритм поиска простых чисел, то можно быстро найти и произвольное число после запятой в дроби, а вот интересно обратная задача имеет место быть? Которая звучала бы так: если для приведенной выше дроби не существует алгоритм быстрого нахождения произвольной цифры после запятой, то и задача о расределении простых чисел не может быть решена быстрее.

Вряд ли есть практическая ценность для этой дроби, но все же есть интерес, что скажут специалисты?

[venco]

maravan в сообщении #837192 писал(а):

Пытаясь найти один из алгоритмов, который бы ответил на вопрос, о закономерности распределения простых чисел в натуральном ряду, наткнулся на интересную дробь:

$\rho=\frac {\ln(\frac {10} {9}) - \psi_\frac {1} {10}(1)} {\ln(10)} = 0,122324243426244526264428344628264449244 \ldots $

где $\psi_q(z)$ - дигамма-функция: http://mathworld.wolfram.com/q-PolygammaFunction.html

Интересность, в том, что позиция цифры после запятой является простым числом, если значение цифры равно числу 2.

Почему вы так решили?

[Ms-dos4]

maravan
Во первых, ваша сумма это просто $\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{{10}^k} - 1}}} \]$, ввиду того, что $\[\frac{{{\psi _{\frac{1}{a}}}(1) + \ln \frac{{a - 1}}{a}}}{{\ln a}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{1 - {a^k}}}} \]$ (это, кстати, написано и на сайте mathworld). Во вторых, ваш вывод неверен. Например 60-я цифра после запятой является двойкой, но тем не менее, это не простое число.

[maravan]

Ms-dos4 в сообщении #837206 писал(а):

maravan
Во первых, ваша сумма это просто $\[\sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{{{10}^k} - 1}}} \]$, ввиду того, что $\[\frac{{{\psi _{\frac{1}{a}}}(1) + \ln \frac{{a - 1}}{a}}}{{\ln a}} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\frac{1}{{1 - {a^k}}}} \]$ (это, кстати, написано и на сайте mathworld). Во вторых, ваш вывод неверен. Например 60-я цифра после запятой является двойкой, но тем не менее, это не простое число.

Спасибо, что дали контрпример, да, действительно, поспешил в выводами. Беру таймаут на переосмысление.

[Руст]

Любые функции такого рода не могут быть использованы для нахождения простых чисел. Для нахождения простых чисел с помощью
такого рода функций потребуется провести гораздо больше вычислений, чем уже с простыми известными алгоритмами.

Но они носят некоторую усредненную информацию о простых числах и могут быть полезны для получения некоторых усредненных характеристик.
Однако, я отношусь скептически к доказательству такого рода усредненных фактов о распределении простых типа гипотезы Римана непосредственно изучая зета функцию.