Критерий асимптотической устойчивости системы

[Acapello]

Дана склерономная система. В пределах малых смещений получены соответствующие дифференциальные уравнения: $A\ddot{q} + B\dot{q} + Cq = 0$, где A, C -- положительно определённые матрицы, B -- положительно полуопределённая.
Тогда положение равновесия $q = 0$ асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда $B\vec{u_s} \ne 0 \ \forall s$, где $\vec{u_s}$ - собственные вектора, соответствующие малым колебаниям системы $A\ddot{q} + Cq = 0$

То, что из $q = 0$ -- асимптотически устойчиво сразу следует $B\vec{u_s} \ne 0 \ \forall s$ предполагая противное.

В обратную сторону не получается. Рассуждаю так: предположим противное, что есть некоторое незатухающее движение $q = \vec{u} e^{\lambda t} $, из положительности A,C и неотрицательности B следует, что $\operatorname{Re}\lambda \le 0$, т.е. всё либо затухает, либо есть свободное колебание.
И вот тут я стопорюсь. Левая пятка утверждает, что тогда и $\lambda\ и $\vec{u}$ должны отвечать $A\ddot{q} + Cq = 0$, но никак доказать у меня не получается. Да и не ясно, почему бы $A\ddot{q} + B\dot{q} + Cq = 0$ не иметь гармонического решения. Так что не знаю, как продолжить мысль.
Была мысль перейти в общем виде в нормальные координаты, где A и C диагональные, но не знаю, что будет с B в общем случае.

[Oleg Zubelevich]

И так. Имеется система

$$A\ddot x+B\dot x+Cx=0,\quad x\in\mathbb{R}^m\qquad (*)$$

, матрицы $A,-B,C$ симметричны и положительно определены.

Теорема. Данная система асимптотически устойчива.

Док-во.

Напишем оценку (через $c$ обозначаем несущественные положительные постоянные)

$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\Big(\dot x^TA\dot x+x^T Cx\Big)=-\dot x^TB\dot x.$$

Отсюда

$$\frac{d}{dt}\|\dot x\|^2\le -c\|\dot x\|^2,\quad \|x\|^2=x^TAx$$

следовательно, $\|\dot x\|^2\le ce^{-ct}$. Отсюда ясно, что все решения $x(t)$ ограничены : $\sup_{t>0}\|x(t)\|<\infty$.
Зная как выглядит общее решение линейной системы заключаем, что $\|\ddot x\|^2\le ce^{-ct}.$

Проверим, что $x(t)\to 0$ при $t\to\infty$ -- для любого решения $x(t)$.
Предположим противное: найдется конкретное решение $x(t)$ и последовательность $t_k\to \infty$ такая, что $0<c_1<\|x(t_k)\|< c_2$
Выделим из последовательности $x(t_k)$ сходящуюся подпоследовательность: $x(t_{k_j})\to y\ne 0$

тогда переходя в уравнении (*) к пределу по $t_{k_j}\to \infty$ мы получим $Cy=0$, что противоречит невырожденности матрицы $C$.

[Acapello]

Oleg Zubelevich в сообщении #837031 писал(а):

И так. Имеется система

$$A\ddot x+B\dot x+Cx=0,\quad x\in\mathbb{R}^m\qquad (*)$$

, матрицы $A,-B,C$ симметричны и положительно определены.

Матрица $B$ -- положительно полуопределена, поэтому $ c $ будет неотрицательна.
И тогда из

Oleg Zubelevich в сообщении #837031 писал(а):

$$\frac{d}{dt}\|\dot x\|^2\le -c\|\dot x\|^2,\quad \|x\|^2=x^TAx$$

следует возможность отсутствия диссипации энергии в системе, т.е. обычные свободные, незатухающие колебания.

[Oleg Zubelevich]

в моем доказательстве действительно ошибка (или дыра), но в совершенно другом месте

[Oleg Zubelevich]

система (8.1) это $\dot x=v(x),\quad v(0)=0,\quad x\in\mathbb{R}^m$

[Acapello]

Спасибо, Oleg Zubelevich.

Забавная теорема, странно, что у нас её нет в курсе.