Определитель матрицы меньше либо равен 1

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #836605 писал(а):

Наклонного $n$-мерного — школьная?

Конечно, говоря "школьная" я подразумевал 3-мерный параллелепипед. А там уж по индукции .

[ShMaxG]

Решить задачу можно и таким образом. Напрашивается рассмотреть вместо исходной матрицы $A$ матрицу $AA^{T}$, которая является 1) симметричной, 2) на диагонали стоят единицы. Раз симметричная, значит к диагональному виду приводится и все собственные числа имеются. А раз на диагонали единицы, то след матрицы равен $n$. Далее надо просто отметить $\det^2 A = \det(AA^T) = \lambda_1 \dots \lambda_n$ и вспомнить AM-GM.

[MestnyBomzh]

ShMaxG в сообщении #836625 писал(а):

$\det^2 A = \det(AA^T) = \lambda_1 \dots \lambda_n$

Определитель будет равен произведению собственных чисел? И что означает

ShMaxG в сообщении #836625 писал(а):

и вспомнить AM-GM.

[ShMaxG]

MestnyBomzh в сообщении #836629 писал(а):

Определитель будет равен произведению собственных чисел?

Да.

AM-GM -- так обычно обозначают неравенство между средними арифметическим и геометрическим.

[Nemiroff]

MestnyBomzh в сообщении #836629 писал(а):

Определитель будет равен произведению собственных чисел?

Определитель ему всегда равен.

[MestnyBomzh]

ShMaxG в сообщении #836630 писал(а):

Да.

AM-GM -- так обычно обозначают неравенство между средними арифметическим и геометрическим.

А как мы их будем искать? Нужно будет приравнивать определитель симметричной матрицы, на диагонали которой стоят $1-\lambda$.
А можно ли сделать так: объем равен произведению всех образующих его векторов, на угол между ними. Существует же угол между $n$ прямыми? А синус его $\leq 1$

[ShMaxG]

MestnyBomzh в сообщении #836846 писал(а):

А как мы их будем искать?

Не нужно их искать. Но нужно помнить, что след матрицы сохраняется при невырожденном преобразовании пространства: я имею ввиду, что у матриц $A$ и $SAS^{-1}$ при невырожденной $S$ следы одинаковые.

[devgen]

А где можно посмотреть, как определяют объем $n$-мерного параллелепипеда не через определитель?

[Shtorm]

devgen, ну например здесь.
Объём $n$-мерного параллелепипеда - это объём основания (то есть объём $(n-1)-$мерного параллелепипеда ) умноженный на высоту.