2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 22:45 
Аватара пользователя
arseniiv в сообщении #836605 писал(а):
Наклонного $n$-мерного — школьная?


Конечно, говоря "школьная" я подразумевал 3-мерный параллелепипед. А там уж по индукции :-).

 
 
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 22:49 
Аватара пользователя
Решить задачу можно и таким образом. Напрашивается рассмотреть вместо исходной матрицы $A$ матрицу $AA^{T}$, которая является 1) симметричной, 2) на диагонали стоят единицы. Раз симметричная, значит к диагональному виду приводится и все собственные числа имеются. А раз на диагонали единицы, то след матрицы равен $n$. Далее надо просто отметить $\det^2 A = \det(AA^T) = \lambda_1 \dots \lambda_n$ и вспомнить AM-GM.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 22:59 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #836625 писал(а):
$\det^2 A = \det(AA^T) = \lambda_1 \dots \lambda_n$

Определитель будет равен произведению собственных чисел? И что означает
ShMaxG в сообщении #836625 писал(а):
и вспомнить AM-GM.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 23:01 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #836629 писал(а):
Определитель будет равен произведению собственных чисел?

Да.

AM-GM -- так обычно обозначают неравенство между средними арифметическим и геометрическим.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение13.03.2014, 23:08 
MestnyBomzh в сообщении #836629 писал(а):
Определитель будет равен произведению собственных чисел?
Определитель ему всегда равен.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение14.03.2014, 15:14 
Аватара пользователя
ShMaxG в сообщении #836630 писал(а):
Да.

AM-GM -- так обычно обозначают неравенство между средними арифметическим и геометрическим.

А как мы их будем искать? Нужно будет приравнивать определитель симметричной матрицы, на диагонали которой стоят $1-\lambda$.
А можно ли сделать так: объем равен произведению всех образующих его векторов, на угол между ними. Существует же угол между $n$ прямыми? А синус его $\leq 1$

 
 
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение14.03.2014, 15:41 
Аватара пользователя
MestnyBomzh в сообщении #836846 писал(а):
А как мы их будем искать?

Не нужно их искать. Но нужно помнить, что след матрицы сохраняется при невырожденном преобразовании пространства: я имею ввиду, что у матриц $A$ и $SAS^{-1}$ при невырожденной $S$ следы одинаковые.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение14.03.2014, 19:52 
А где можно посмотреть, как определяют объем $n$-мерного параллелепипеда не через определитель?

 
 
 
 Re: Определитель матрицы меньше либо равен 1
Сообщение14.03.2014, 21:14 
Аватара пользователя
devgen, ну например здесь.
Объём $n$-мерного параллелепипеда - это объём основания (то есть объём $(n-1)-$мерного параллелепипеда ) умноженный на высоту.

 
 
 [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group