2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 11:53 
Есть ли такая функция из С[0,1], которая имеет хотя-бы два разложения по системе $\{t^n\}$ ?

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 12:04 
Аватара пользователя
Если базис, то почему же не единственное? Что такое базис? И, кстати, является ли указанный набор базисом?

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 12:29 
provincialka в сообщении #836789 писал(а):
И, кстати, является ли указанный набор базисом?

Так мой вопрос и был, в том - как проверить, что эта система на является базисом?

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 12:40 
Аватара пользователя
Допустим, разложений два. Приравняйте их и забудьте про функцию. Перенесите всё в левую часть, получите нетривиальное разложение нуля по системе $\{t^n\}$.

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 12:48 
Аватара пользователя
myjobisgop
А попробуйте разложить $|x - 0.5|$.

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 18:38 
Аватара пользователя
Базис определяется двумя свойствами. Полнота и лин. независимость. Единственность разложения связана с лин. независимостью. Приведенные вами функции являются линейно независимыми. Но вот породить все $C[a; b]$ не могут.

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 20:48 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #836919 писал(а):
Базис определяется двумя свойствами. Полнота и лин. независимость.

Ну, это в конечномерном пространстве. А полнота в бесконечномерных пространствах - это другое.

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 22:29 
Аватара пользователя
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%B7%D0%B8%D1%81_%D0%A8%D0%B0%D1%83%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B0

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 23:17 
Аватара пользователя
А тут ответ на вопрос ТС:

http://mathoverflow.net/questions/44265 ... es-in-c0-1

Очевидно, имелся в виду базис Шаудера, потому что базис Гамеля $C[0,1]$ вообще не может быть счетным (упражнение).

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 23:47 
g______d в сообщении #837023 писал(а):
базис Гамеля $C[0,1]$ вообще не может быть счетным (упражнение)
а можно поинтересоваться, есть ли простое доказательство этого факта?

можно, конечно, рассмотреть линейно независимую систему $t^\alpha\in\mathbf{C}[0,1]$ и показать с ее помощью, что все базисы Гамеля $\mathbf{C}[0,1]$ имеют мощность континуума. но это потребует нетривиальных ссылок на теорию множеств...

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение14.03.2014, 23:59 
Аватара пользователя
patzer2097 в сообщении #837030 писал(а):
а можно поинтересоваться, есть ли простое доказательство этого факта?
Может, так: функции $|x-a|$, где $0<a<1$, принадлежат $C[0,1]$, их континуум и они линейно независимы.

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение15.03.2014, 00:03 
svv в сообщении #837033 писал(а):
их континуум и они линейно независимы
ну да, континуальную линейно независимую систему придумать можно (я выше свою предложил). Но вопроса о существовании счетного базиса это же не снимает?

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение15.03.2014, 00:03 
базис Гамеля в любом бесконечномерном банахововом пространстве более чем счетен см. теорему Бэра о категориях

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение15.03.2014, 01:01 
спасибо!

(Оффтоп)

интересно, а можно ли доказать, что все базисы Гамеля пространства $C[0,1]$ имеют мощность континуума, не ссылаясь на слишком общие аксиомы теории множеств?

 
 
 
 Re: Не единственное разложение функции по базису
Сообщение15.03.2014, 20:31 
Аватара пользователя
http://math.stackexchange.com/questions ... amel-basis

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group