Помогите найти траекторию точки

[Alvarg]

"Материальная точка массы m имеющая электрический заряд q, начинает двигаться из состояния покоя под действием силы тяжести в однородном магнитном поле. Вектор B магнитной индукции поля направлен по горизонтали и постоянен.
Пренебрегая сопротивлением среды, найти траекторию точки."
По ответу получается циклоида.
Не могу составить уравнения движения, которые бы нормально интегрировались.
Проблемы из-за того, что сила Лоренса направлена всегда перпендикулярно скорости, а еще и сила тяжести есть.

[IgoryaN_]

Сила тяжести заставляет двигаться тело вниз со скоростью $V_y=gt$
Сила Лоренса заставляет двигаться тело горизонтально (перпендикулярно В и $V_y$). $F_L=qBV_y\sin{90}=qBV_y$
По второму закону Ньютона $F=ma$
Тогда ускорение тела в горизонтальном направлении будет равно $a=F_L/m=qBV_y/m$
Скорость в горизонтальном направлении $V_x=at=qBV_yt/m=qBgt^2/m$
Проинтегрировав $V_x$ и $V_y$ (по $dt$) получим зависимости координат от времени. Выразив t из одного уравнения и подставив в другое получим уравнение движения.

[nikvic]

IgoryaN_ в сообщении #836255 писал(а):

Сила тяжести заставляет двигаться тело вниз со скоростью $V_y=gt$

Гм, а разве появление горизонтальной скорости не добавляет вертикальную составляющую силы Лоренца?

[Alvarg]

nikvic в сообщении #836264 писал(а):

IgoryaN_ в сообщении #836255 писал(а):

Сила тяжести заставляет двигаться тело вниз со скоростью $V_y=gt$

Гм, а разве появление горизонтальной скорости не добавляет вертикальную составляющую силы Лоренца?

Добавляет, в этом-то и проблема. Я вот сейчас подумал, а если этим пренебречь, то не получится ли нужная циклоида?

[nikvic]

Alvarg в сообщении #836269 писал(а):

Я вот сейчас подумал, а если этим пренебречь, то не получится ли нужная циклоида?

Нет.

[IgoryaN_]

$F_L_X=V_yBq$, $F_L_y=V_xBq$
$a_L_x=V_yBq/m$, $a_L_y=V_xBq/m$
$V_x=a_L_xt$, $V_y=(a_L_y+g)t$

$V_x=V_yBqt/m$
$V_y=V_xBqt/m+gt$
Что-то ничего лучше я не придумал... Если решать систему, а затем интегрировать.... какая-то ерунда с логарифмами получается
Alvarg, у вас также получилось?

[Alvarg]

IgoryaN_ в сообщении #836727 писал(а):

Alvarg, у вас также получилось?

Если силы так записать, то вроде так получтится. Но дело в том, что сила Лоренса всегда перпендикулярно скорости, и проекции ее некрасиво записываются и плохо интегрируются.
Должна быть циклоида, т.е. должны синусы с косинусами появиться.

[iifat]

Что-то я проблем не вижу, извините. Ну, получилась система линейных неоднородных уравнений. На первый взгляд, достаточно простая. И чо? Покажите ваше решение (решение — это не то, что правильно называть ответом. Решение — это решение). Поглядим.

[IgoryaN_]

$V_x=\frac{gmqBt^2}{m^2-q^2B^2t^2}$
$V_y=\frac{gm^2t}{m^2-q^2B^2t^2}$

$x=\[g\,m\,\left( \frac{m\,\mathrm{\ln}\left( q\,t\,B+m\right) }{2\,{q}^{2}\,{B}^{2}}-\frac{m\,\mathrm{\ln}\left( q\,t\,B-m\right) }{2\,{q}^{2}\,{B}^{2}}-\frac{t}{{q}\,{B}}\right) \]$
$y=\[\frac{g\,{m}^{2}\,\mathrm{\ln}\left(\frac{1}{ {q}^{2}\,{t}^{2}\,{B}^{2}-{m}^{2}}\right) }{2\,{q}^{2}\,{B}^{2}}\]$
Наверное, как-то так.

[nikvic]

Ерунда.
Выпишите, наконец, линейную систему из 2-х дифур...

[green5]

Стало интересно, как парабола преобразуется в циклоиду.
Пишем в "нормальных" координатах.
$ \ddot{z} = - g - B\dot{y} \\ \ddot{y} = B\dot{z} \\ $
Запихимаем это в Маплу (с трением)

odz := D[1,1](z)(t) = -g - B*D[1](y)(t) - A*D[1](z)(t);
ody := D[1,1](y)(t) = B*D[1](z)(t) - A*D[1](y)(t);
A:=0.1;B:=10;g:=10; 
a := dsolve([odz, ody, z(0) = 10, y(0) = 0, (D(z))(0) = 1, (D(y))(0) = 0]);
plot(op(2, op(2, a)), t = 0 .. 1);
plot([op(2, op(1, a)), op(2, op(2, a)), t = 0 .. 1]);

Вроде так. С физ. коэф. и знаком заряда разбиритесь.

[nikvic]

green5 в сообщении #836762 писал(а):

Запихимаем это в Маплу (с трением)

Из-за трения Ваша частица "падает"
Видимо, асимптотикой будет равномерное "косое" падение - сила Лоренца с трением скомпенсируют тяжесть...

[IgoryaN_]

nikvic в сообщении #836760 писал(а):

Выпишите, наконец, линейную систему из 2-х дифур...

$\dot{x}=k\dot{y}t$
$\dot{y}=k\dot{x}t+gt$,
где $k=qB/m$
Так?

[nikvic]

Слева - ускорения, а не скорости, справа не должно быть времени.

[IgoryaN_]

$F_L_x=V_yBq$, $F_L_y=V_xBq$
$F_x=F_L_x=V_yBq$
$F_y=F_L_y+mg=V_xBq+mg$
$a_x=V_yBq/m$
$a_y=V_xBq/m+g$

$Bq/m=k$

$\ddot{x}=k\dot{y}$

$\ddot{y}=k\dot{x}+g$