Векторное произведение... Физический смысл

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #835374 писал(а):

просто иллюстрация того, что некоторые интуитивные представления ложны, а "антиинтуитивные" операции в математике могут быть глубоко физичны.

Дык стоит от ложных интуитивных представлений избавляться, а насчёт физичных "антиинтуитивных" - вырабатывать новую, правильную интуицию.

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #835374 писал(а):

Ранее застёгивали как удобно

А как это было реализовано, кроме описанного двубортного варианта? С учётом того, что пуговицы были дороги.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Моряки - не самая низкооплачиваемая профессия. Хотя, конечно, у рядового матроса пуговицы были не медные, а деревянные или костяные.

А возвращаясь к заданному вопросу - векторное произведение было введено не как некая абстракция, чистая игра ума, а для описания вполне физических явлений в механике и в электромагнетизме. Так что доказывать надо только внутреннюю непротиворечивость.

[ratay]

Читаешь это и вспоминаешь, как перед этим серьезные
люди на пяти страницах обсуждали, как решать квадратное
уравнение. Так скоро до таблицы умножения доберемся.

[nikvic]

Евгений Машеров в сообщении #835402 писал(а):

векторное произведение было введено не как некая абстракция, чистая игра ума, а для описания вполне физических явлений в механике и в электромагнетизме

Наверное, перед этим всё же описано в геометрии - как задача отыскания площади фигуры в 3Д.

[Евгений Машеров]

Насколько я знаю - оно впервые появилось в кватернионной алгебре у Гамильтона, а кватернионы возникли в попытках дать в трёхмерном случае матфизике такой же полезный аппарат, каковы комплексные числа в двумерных задачах. А геометрия уже позже присоседилась, с "площадью". Ну и для площади нет надобности выражать её значение вектором, ортогональным плоскости, в которой лежит фигура.

[Munin]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #835402 писал(а):

Моряки - не самая низкооплачиваемая профессия.

Да я не про моряков, а про остальное население.

Евгений Машеров в сообщении #835402 писал(а):

А возвращаясь к заданному вопросу - векторное произведение было введено не как некая абстракция, чистая игра ума, а для описания вполне физических явлений в механике и в электромагнетизме. Так что доказывать надо только внутреннюю непротиворечивость.

В общем, не совсем так.

Векторное произведение было введено исторически после моды на кватернионы. Кватернионы очень понравились математикам, и они их буквально навязали физике. Но оказалось, что напрямую они для описания электромагнетизма неприменимы, а только после очень существенной "доработки напильником" - совершенно искусственного с математической точки зрения разделения "скалярной и векторной части". И даже после этого, возникают такие сущности, как векторное произведение, которые физически неоправданы и нелогичны (например, не обобщаются на другие размерности). В то же время, буквально в те же годы, был развит и другой математический аппарат - внешних форм, но он оказался в забвении почти на столетие, хотя для физики подходил гораздо лучше и естественнее. Разумеется, в размерности 3 эти два матаппарата по случайности совпадают, и непротиворечивость одного влечёт автоматически непротиворечивость другого, но это не значит, что этого и достаточно. Можно чесать правой пяткой за левым ухом, но зачем?

Такая безобидная штука, как удобство, ясный образ, ясная нотация, в математике и физике, часто недооценивается историками, но на самом деле сворачивает горы. Неудобная нотация резко тормозит расчёты и исследования, иногда до полного ступора. А удобная, наоборот, даёт резкий толчок прогрессу. Примеры столь многочисленны, что их можно перечислять непрерывно. Алгебраическая нотация позволила резко ускорить исследование алгебраических уравнений, легче освоиться с отрицательными числами, с произвольными степенями, и т. п. Лейбницево обозначение производной облегчило выкладки в матанализе за столетия до того, как им был придан строгий смысл. Понятие логарифма позволило сильно облегчить астрономические и другие физические расчёты, метод координат - упростить до автоматизма выкладки, которые раньше требовали искусства и изобретательности. Нотация определителей, появившаяся как средство единообразного подхода к системам уравнений, постепенно привела к появлению матриц как самостоятельного математического объекта. Те же векторы, хоть и уступают в конкретном частном случае внешним формам, в целом были большим прогрессом по сравнению с координатными вычислениями: достаточно сравнить в трактатах Максвелла покоординатные уравнения (20 штук), и "кватернионные" (по сути, векторные - 8 штук, с учётом переформулировок 12 штук). В дальнейшем, 4-мерные векторные и тензорные (а затем и спинорные) представления привели к быстрому прогрессу теории поля и квантовой физики. Теория расслоений позволяет рассмотреть разные взаимодействия на единой основе, и вносит ясность в современную теорию поля.

[Евгений Машеров]

ratay в сообщении #835431 писал(а):

Читаешь это и вспоминаешь, как перед этим серьезные
люди на пяти страницах обсуждали, как решать квадратное
уравнение. Так скоро до таблицы умножения доберемся.

По-моему, там обсуждался несколько иной вопрос. Как зависят корни уравнения от погрешности его задания, если уравнение квадратное. Несколько выходящий за рамки алгебры 8-го класса.

[Munin]

nikvic в сообщении #835435 писал(а):

Наверное, перед этим всё же описано в геометрии - как задача отыскания площади фигуры в 3Д.

Эту задачу решали определителями, кажется.

Евгений Машеров в сообщении #835449 писал(а):

Насколько я знаю - оно впервые появилось в кватернионной алгебре у Гамильтона, а кватернионы возникли в попытках дать в трёхмерном случае матфизике такой же полезный аппарат, каковы комплексные числа в двумерных задачах.

Кватернионы возникли исключительно как алгебраическая "игра ума", а не для матфизики. Векторный смысл у них появился позже. Пикок, Грегори и Де Морган заложили основы современной абстрактной алгебры, построенной на аксиоматическом подходе к символическим выражениям (формулам), но примеров алгебр было немного: действительные и комплексные числа, и искусственно построенные примеры. Поэтому многие математики искали системы гиперкомплексных чисел, и наиболее успешную построил Гамильтон. Последующая задача виделась ему как обобщение на кватернионы всех алгебраических и аналитических теорий, имеющих место для комплексных чисел. (Колмогоров, Юшкевич. Математика 19 века.) Как видим, математическая физика в его приоритетах не стояла. Трёхмерность тоже появилась довольно случайно, и даже легко видно, что у кватернионов per se не 3, а 4 образующих.

Интересно, что само слово "вектор" впервые появляется у Гамильтона применительно к подпространству пространства кватернионов. Но ещё до этого было слово "радиус-вектор", http://jeff560.tripod.com/mathword.html , http://jeff560.tripod.com/v.html . Под ним понимался направленный отрезок от центра к планете, аналогичный радиусу окружности (лат. raduis vector = "несущий луч, луч-носитель"), не связанный с алгебраическими операциями, и даже не имеющий заданного направления (в некоторых текстах он "проводится" от планеты к центру, что по сути безразлично).

А векторы в современном понимании, как "направленные отрезки" в составе некоторой алгебры и анализа, появились, кроме Гамильтона (1843), независимо у Мёбиуса (1827, только сложение и вычитание, и умножение на коэффициент, для задач вычисления центра тяжести), и у Грассмана (1840, умножение в смысле бивектора, не более чем 3-мерный случай, и 1844, $n$-мерный случай). Это если не считать правила параллелограмма у Ньютона (1687), применяемого для сил, импульсов и ускорений, и общеизвестной на рубеже 18-19 веков геометрической интерпретации комплексных чисел (2-мерный случай).

[Евгений Машеров]

Ну, во всяком случае, кватернионы Гамильтон вводил не из желания придумать новый алгебраический объект, а под конкретные задачи физики. А то, что у него, профессора, Королевского Астронома Ирландии, автора прославленных работ по динамике, рыцаря, лауреата медали Королевского Общества etc. было больше возможностей для пиара своих идей сравнительно с гимназическим учителем Грассманом (ещё даже не произведенным в Старшие Учителя), это грустный факт. Возможно, не напиши Куммер отзыв "daß diese Schrift [die Ausdehnungslehre] von den Mathematikern ferner ignoriert werden wird wie bisher; denn die Mühe, sich in dieselbe einzuarbeiten, erscheint zu groß in Beziehung auf den wirklichen Gewinn an Erkenntnis, welchen man aus derselben schöpfen zu können vermutet", и получи Грассман кафедру в университете, история физики пошла бы иначе.

[Munin]

Евгений Машеров в сообщении #835501 писал(а):

Ну, во всяком случае, кватернионы Гамильтон вводил не из желания придумать новый алгебраический объект, а под конкретные задачи физики.

Munin в сообщении #835500 писал(а):

Колмогоров, Юшкевич. Математика 19 века.

[Евгений Машеров]

Ну, я менее всего числю себя телепатом, ниже спиритом, а без этого утверждать, что думал Гамильтон, не вправе.
Но тем не менее в его первоначальной статье
http://www.emis.ams.org/classics/Hamilton/OnQuat.pdf
"thermological equation" появляется на стр. 45.

[Xaositect]

Евгений Машеров в сообщении #835555 писал(а):

"thermological equation" появляется на стр. 45.

То есть спустя три года после публикации первой части.

[Deggial]

ratay в сообщении #835431 писал(а):

Читаешь это и вспоминаешь, как перед этим серьезные
люди на пяти страницах обсуждали, как решать квадратное
уравнение. Так скоро до таблицы умножения доберемся.

ratay, замечание за бессодержательное сообщение

[longstreet]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #835456 писал(а):

Такая безобидная штука, как удобство, ясный образ, ясная нотация, в математике и физике, часто недооценивается историками, но на самом деле сворачивает горы.

Замечательная книга про это.

[Munin]

(Оффтоп)

Cannot find where to download it.