Определитель матрицы меньше либо равен 1

[MestnyBomzh]

Дана квадратная матрица $n\times n$. Известно, для любой строки, что сумма квадратов элементов этой строки равна единице. Докажите, что определитель этой матрицы меньше либо равен 1.
Хотел через ММИ, доказал для матрицы $2\times 2$, однако, при шаге индукции понял, что она вообще не подходит, так как при разложении определителя $(n+1)\times (n+1)$ получится $n+1$ определителей порядка $n$, однако они не будут уже обладать нашим свойством, то есть будут какими-то произвольными. Подскажите, как тут быть

[arseniiv]

Возьмём $n$-мерное евклидово пространство…

(Так можно?)

[svv]

Вспомните, что определитель матрицы — объем параллелепипеда, построенного на векторах, соответствующих столбцам (или строкам) матрицы. Что геометрически означает, что сумма квадратов равна единице? Каким может быть объем параллелепипеда с этим свойством?

[arseniiv]

MestnyBomzh в сообщении #836547 писал(а):

Докажите, что определитель этой матрицы меньше либо равен 1.

Кстати, по-моему, даже сильнее можно: что модуль определителя меньше либо равен 1.

-- Пт мар 14, 2014 00:10:34 --

svv раскрыл все карты!

[svv]

Вот блин...

MestnyBomzh, если Вы не догадаетесь, Вы этим меня спасёте.

[arseniiv]

Если подумать, мой комментарий, наоборот, слишком туманный. Надо просто взять среднее арифметическое от них!

[MestnyBomzh]

То есть, определитель $n$ мерной матрицы-объем $n$ мерного параллелепипеда? Насколько я знаю, объем равен произведению сторон, его образующих (не знаю как сказать правильно, но смысл, я думаю, я донес). Наш параллелепипед натянут на вектора, то есть длины его сторон-это есть $\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2+...+(a_n)^2}$, а у нас это единица...Получается, что все образующие стороны равны 1, и объем равен единице. Где-то здесь ошибка, но где?

[Nemiroff]

MestnyBomzh в сообщении #836590 писал(а):

Насколько я знаю, объем равен произведению сторон, его образующих (не знаю как сказать правильно, но смысл, я думаю, я донес).

Он же не прямоугольный.

[MestnyBomzh]

Я так понимаю, тут нужно будет как-то интеграл использовать?

[Shtorm]

MestnyBomzh, да зачем интеграл!? Просто погугите в инете как находится объём наклонного параллелепипеда. Простая школьная формула.

[arseniiv]

Наклонного $n$-мерного — школьная? Хотя по индукции, конечно, школьная…

[MestnyBomzh]

Перпендикуляр, умноженный на проекцию фигуры на $n-1$ мерную плоскость?

[arseniiv]

Или просто высота, умноженная на основание. Ограничение на длину высоты сразу видно.

[MestnyBomzh]

Ага, ну вообщем объем $n$ мерного параллелепипеда со сторонами, равными, $1$ равняется $h\cdot h\cdot h...h$ и так $n-1$ раз. Теперь можно рассмотреть параллелограмм со сторонами $1$ и той же высотой $h$. Она является катетом, а значит она меньше гипотенузы, равной единице. Значит $h < 1$, и произведение всех $h$ тоже $<1$. Ну и $h$ может равняться $1$, если она совпадает с гипотенузой(случай, когда параллелепипед прямоуголен

[svv]

Ну, только Вы же учитываете, что «аши» здесь в общем случае разные?
Например, в основании трехмерного параллелепипеда лежит почти квадрат, его высота почти $1$. А вот третье ребро и близко не перпендикулярно основанию, здесь высота заметно меньше $1$.