Бесконечномерность пространства непрерывных функций.

[main.c]

Доказать, что пространство всех непрерывных функций на любом промежутке числовой прямой бесконечномерно.
Моё доказательство:
Пусть
$C[a,b]$ - множество всех непрерывных на $[a,b]$ функций.
$S[a,b]$ - множество всех функций вида $\sin(nx)$ на $[a,b]$, где $n \in N$.
Множество $S[a,b] \subset C[a, b]$ имеет счётную размерность, а значит размерность $C[a, b]$ не менее чем счётна.

Меня просто смущает тот факт, что нам доказывали гораздо более длинным путём, но я не помню как, пришлось придумывать доказательство самому,но оно оказалось очень коротким.
Поэтому возник вопрос, это верное доказательство?

[olenellus]

Бесконечномерно — это понятие, связанное с дополнительной структурой на множестве (например, линейная размерность). $\dim\neq\operatorname{card}$, т. е. бесконечность множества не влечёт за собой его бесконечномерность.

[main.c]

olenellus в сообщении #835935 писал(а):

Бесконечномерно — это понятие, связанное с дополнительной структурой на множестве (например, линейная размерность). $\dim\neq\operatorname{card}$, т. е. бесконечность множества не влечёт за собой его бесконечномерность.

А я и не говорю, что бесконечномерность следует из бесконечности множества. Она равна максимальному количеству линейно независимых векторов данного пространства.
Система $\sin x, ..., \sin nx$ линейно независима при любом $n$, это очень просто доказывается по индукции. А значит размерность $S[a,b]$ счётна.

[nnosipov]

А почему не взять обычные многочлены (не тригонометрические)? С ними-то совсем ничего не нужно и доказывать, ибо очевидно.

[Oleg Zubelevich]

main.c в сообщении #835930 писал(а):

$S[a,b]$ - множество всех функций вида $\sin(nx)$ на $[a,b]$, где $n \in N$.

правильнее говорить о линейной оболочке

[main.c]

Oleg Zubelevich в сообщении #835948 писал(а):

main.c в сообщении #835930 писал(а):

$S[a,b]$ - множество всех функций вида $\sin(nx)$ на $[a,b]$, где $n \in N$.

правильнее говорить о линейной оболочке

Ну да, это я уже потом сообразил, когда написал, но суть от этого не меняется, поэтому не стал менять.

[olenellus]

main.c в сообщении #835940 писал(а):

А я и не говорю, что бесконечномерность следует из бесконечности множества. Она равна максимальному количеству линейно независимых векторов данного пространства.

Ну, я возразил лишь потому, что у Вас это не было проговорено явно.

[patzer2097]

можно даже рассмотреть систему функций $t^\alpha$ при $\alpha\in\mathrm{R}$, чтобы сразу доказать и то, что размерность равна континууму