теорема Геделя.

[jurij]

Нашел такую формулировку теоремы Геделя:

«для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто»…

У меня вопрос к участникам форума: не является ли это утверждение «излишним»?

О чем речь. Аксиома, как неотъемлемый компонент любой теории (аксиоматической системы) является недоказуемым и не опровергаемым в ее рамках утверждением. То есть, любая аксиоматическая система является неполной по определению. Что тогда доказывается в теореме Геделя?

Я не математик, а потому заранее прошу прощения, если мой вопрос некорректный, например, опирается на неверную формулировку этой знаменитой теоремы.

[Xaositect]

Неформально: Аксиома - это утверждение, не требующее доказательства. То есть в рамках рассматриваемой теории доказательством аксиомы является уже то, что мы приняли это утверждение за аксиому.

В матлогике определяется понятие формального доказательства (вывода) в аксиоматической системе. По этому определению доказательством аксиомы является сама эта аксиома.

jurij в сообщении #834943 писал(а):

для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто

Там должно быть "для любой непротиворечивой рекурсивной системы аксиом" или что-нибудь подобное. Впрочем, для Вашего вопроса это несущественно.

[jurij]

Xaositect в сообщении #835002 писал(а):

В матлогике определяется понятие формального доказательства (вывода) в аксиоматической системе. По этому определению доказательством аксиомы является сама эта аксиома.

Может быть. Но насколько я понял, аксиома считается в математике самодостаточным утверждением лишь для того, чтобы разорвать бесконечную цепь обоснований какого либо утверждения. То есть, в качестве аксиомы может быть принято любое, из образующих эту цепь, утверждений. В общем то, скользкое обоснование.

В физике проще. Роль постулата можно определить так:

постулат - это принимаемое без доказательства утверждение, которое заведомо определяет суть описываемых теорией явлений.

Например, в механике Ньютона, в рамках ее сущностей, невозможно было описать тепловые явления. Чтобы сделать это создатели классической термодинамики предположили, постулировали существование новой сущности - теплород. В рамках этого предположения тепловые явления становились сутью движения теплорода в материальных телах.

При этом совершенно очевидно, что соответствие выводов термодинамики опыту не служит основанием для утверждения, что теплород это объективно существующая реальность. Не служит потому, что теплород и был введен как понятие, для описания этих опытов.

То есть, в физике постулат – это субъективное начало теории и его использование в теории никак не служит доказательство его истинности. Для примера, постулат о теплороде был заменен в современной термодинамике постулатом о молекулярно-кинетической природе тепла.

Так может и в математике с аксиомами не все так просто?

[Xaositect]

jurij в сообщении #835114 писал(а):

Так может и в математике с аксиомами не все так просто?

В математике (точнее в теории доказательств, к которой и относится теорема Геделя) с аксиомами все просто. Аксиомы могут быть выбраны абсолютно произвольно, любой набор аксиом задает некоторую теорию - множество утверждений, которые имеют доказательства, определение доказательства тоже формально определено. Теории могут быть противоречивыми и непротиворечивыми, полными и неполными и т.п.

[nikvic]

jurij в сообщении #835114 писал(а):

Но насколько я понял, аксиома считается в математике самодостаточным утверждением лишь для того, чтобы разорвать бесконечную цепь обоснований какого либо утверждения. То есть, в качестве аксиомы может быть принято любое, из образующих эту цепь, утверждений.

Образ цепи нехорош. Утверждения - это баньяновый лес, когда есть много путей, чтобы попасть на выделенную ветку.
Аксиомы - не только утверждения, но и определения, формулирование правил игры. Цель - описать те корни дерева, от которых можно добраться до всех существенных веток.

[jurij]

Xaositect в сообщении #835124 писал(а):

Аксиомы могут быть выбраны абсолютно произвольно, любой набор аксиом задает некоторую теорию...

То есть, математическую теорию создать очень просто. Для этого достаточно сформулировать произвольный набор аксиом, и проследить, чтобы они не противоречили друг другу. Кстати, а есть процедура такой проверки? Поэтому у математиков, наверное, есть какой-нибудь "толстый" журнал в котором ежегодно публикуется несколько десятков таких (математических) теорий.

nikvic в сообщении #835130 писал(а):

Аксиомы - не только утверждения, но и определения, формулирование правил игры. Цель - описать те корни дерева, от которых можно добраться до всех существенных веток.

Вы противоречите Xaositect. По мнению последнего математические теории не преследуют каких либо целей поскольку формулируются произвольным набором аксиом.
Я, как и Вы, тоже считаю, что если теория создается, то для описания чего-то. Согласно этой цели формулируется и набор аксиом ее (эту цель) реализующих. Что описывает теория набор аксиом которой произволен, наверное, только богу известно.

[Xaositect]

jurij в сообщении #835261 писал(а):

То есть, математическую теорию создать очень просто. Для этого достаточно сформулировать произвольный набор аксиом, и проследить, чтобы они не противоречили друг другу. Кстати, а есть процедура такой проверки?

В основном нет, потому что вторая теорема Геделя. Можно доказывать утверждения типа "если одна теория непротиворечива, то и другая тоже непротиворечива".

jurij в сообщении #835261 писал(а):

Поэтому у математиков, наверное, есть какой-нибудь "толстый" журнал в котором ежегодно публикуется несколько десятков таких (математических) теорий.

В основном изучаются интересные теории, то есть нужные для описания каких-нибудь интересных объектов и моделей. Есть несколько десятков разных арифметик для натуральных чисел, есть теории для разных классов алгебраических структур и категорий, есть пара десятков теорий множеств, теории типов, модальные логики, и т.п.

[jurij]

Xaositect в сообщении #835275 писал(а):

В основном изучаются интересные теории,...

Процедура создания теории в физике: есть опытные факты, формулируются постулаты их объясняющие - результат, теория описывающая эти (исходные) и другие туда же относящиеся факты.

А в математике: есть что-то (числа, множества...), для объяснения (свойств) которых формулируются аксиомы. В результате математическая теория.

Можно наоборот: есть объекты (натуральные числа) и давно изучены их свойства. Но общей теории нет. Тогда подбирается набор аксиом, например Пеано, для создания этой теории.

Или все-таки аналогии с физикой здесь нет?

[Munin]

jurij
Про постулаты в физике вы пишете чушь. Лучше перестаньте, не позорьтесь.

[Dan B-Yallay]

jurij в сообщении #834943 писал(а):

«для любой непротиворечивой системы аксиом существует утверждение, которое в рамках принятой аксиоматической системы не может быть ни доказано, ни опровергнуто»…

Если мне правильно изменяет склероз, то исчисление высказываний пОлно.

[iifat]

Теорема Гёделя несколько сложнее, чем в этой теме обсуждается, и верна не для любой теории. Просто обсуждаем вопрос, на который эта неточность не влияет.

[nikvic]

Dan B-Yallay в сообщении #835361 писал(а):

Если мне правильно изменяет склероз, то исчисление высказываний пОлно.

Эта система слабовата -

Xaositect в сообщении #835002 писал(а):

Там должно быть "для любой непротиворечивой рекурсивной системы аксиом" или что-нибудь подобное.

Что-нибудь подобное - достаточная выразительная сила.
Фактически речь обычно идёт о теории, в которой можно выразить работу и результат для машин Тьюринга.

[epros]

jurij в сообщении #835301 писал(а):

А в математике: есть что-то (числа, множества...), для объяснения (свойств) которых формулируются аксиомы. В результате математическая теория.

Можно наоборот: есть объекты (натуральные числа) и давно изучены их свойства. Но общей теории нет. Тогда подбирается набор аксиом, например Пеано, для создания этой теории.

Не понял разницу. Что такое "объяснение" (свойств)? Что значит "свойства изучены", если теории нет?

Если я правильно понял идею, то Вы пытаетесь противопоставить два подхода:
1) Когда теория считается существующей после того, как сформулирована аксиоматика. Далее мы занимаемся тем, что пытаемся доказать или опровергнуть некие утверждения, используя эту аксиоматику.
2) Когда теория считается существующей где-то на уровне интуиции математика, который знает (или считает, что знает), какими свойствами должны обладать те или иные объекты. Т.е. большинство "полезных выводов" теории мы не доказываем, а извлекаем непосредственно из понимания математика о том, "как должно быть". Далее мы занимаемся тем, что пытаемся подобрать под эти "полезные выводы" более или менее простую аксиоматику.

На практике имеет место некий гибрид из этих двух подходов. Кстати, в физике примерно то же самое. Единственно, "как должно быть" определяется не столько пониманием (математика или физика), сколько наблюдениями и экспериментами.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Беседы на околонаучные темы» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: перенёс в соответствующий раздел.

[patzer2097]

nikvic в сообщении #835373 писал(а):

Фактически речь обычно идёт о теории, в которой можно выразить работу и результат для машин Тьюринга.

вроде бы обычно говорят просто о теориях, содержащих арифметику Пеано, нет?