2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма знакочередующегося ряда
Сообщение10.03.2014, 22:26 


03/04/09
103
Россия
Вычислить сумму ряда $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n)^3}$ с точностью $\alpha=0,001$.
Решение.
Знакочередующийся ряд
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n)^3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{64}+\frac{1}{216}-\frac{1}{512}+\frac{1}{1000}-...$
удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Следовательно, ряд сходится (в данном случае абсолютно). Поэтому
$|R_{n}|<a_{n+1}$. Для вычисления суммы данного знакочередующегося ряда с точностью $\alpha=0,001$ надо потребовать, чтобы
$a_{n+1}< \alpha$ или $a_{n+1}\leq \alpha$?

Почему то в разных книгах пишут по разному :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма знакочередующегося ряда
Сообщение10.03.2014, 22:48 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Nurgali в сообщении #835289 писал(а):
Почему то в разных книгах пишут по разному :-(

Правильный рецепт: не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

(иногда этот рецепт даёт сильно завышенную оценку погрешности; но, во всяком случае, он -- гарантирует эту оценку)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма знакочередующегося ряда
Сообщение10.03.2014, 22:51 


03/04/09
103
Россия
ewert в сообщении #835298 писал(а):
Nurgali в сообщении #835289 писал(а):
Почему то в разных книгах пишут по разному :-(

Правильный рецепт: не превосходит абсолютной величины первого отброшенного члена.

(иногда этот рецепт даёт сильно завышенную оценку погрешности; но, во всяком случае, он -- гарантирует эту оценку)


т.е. должно быть $|R_n|\leq  a_{n+1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма знакочередующегося ряда
Сообщение10.03.2014, 22:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
А, не вчитался. Как хотите; вольному -- воля. Хотите, чтобы погрешность была строго меньше допустимой -- требуйте строгого неравенства; хотите, чтоб хотя бы нестрого -- требуйте нестрогого. В любом случае с практической точки зрения это лишь ловля блох.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма знакочередующегося ряда
Сообщение10.03.2014, 23:00 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
Nurgali
Да хоть так, хоть эдак, что Вас останавливает? Что пятое слагаемое в точности погрешность? Ну и что? Неравенство $|R_{n}|<|a_{n+1}|$ все едино строгое. По крайней мере, в Вашем случае (=последовательность модулей общих членов ряда строго убывает) можно так считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма знакочередующегося ряда
Сообщение10.03.2014, 23:16 
Заблокирован


20/02/14

140
Ваша сумма зависит от дзета функции Римана

$\zeta(3)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\approx 1.202056903159594285399738...$

То есть $\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n)^3}=\frac{3}{32}\zeta(3)$

Чем больше знаков функции Римана возьмете, тем точнее вычислите вашу сумму. И не надо будет потеть с частичными суммами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма знакочередующегося ряда
Сообщение10.03.2014, 23:23 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
∞⠀⠀⠀⠀
galenin в сообщении #835310 писал(а):
Чем больше знаков функции Римана возьмете, тем точнее вычислите вашу сумму

Да уж.
Дело за малым: заиметь точное значение функции Римана. Чтобы, значицца, ничто не мешало брать столько знаков, сколько вздумается. :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма знакочередующегося ряда
Сообщение10.03.2014, 23:30 
Заслуженный участник


25/02/08
2961
А ещё доказывать, что $\[\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{{{( - 1)}^{n - 1}}}}{{{n^k}}}}  = (1 - \frac{1}{{{2^{k - 1}}}})\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{1}{{{n^k}}}} \]$. Зачем усложнять себе жизнь в таком простом задании?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group