Простое функциональное уравнение

[kp9r4d]

Есть уравнение вида $f'(x)f(x-1) = x - x^2$, где $f$ — дифференцируемая на всей прямой функция. Требуется найти все $f$ или доказать, что оных нету.
В предположении что $f$ — многочлен доказательство того, что таких нету довольно простое. Однако само это предположение доказать не удается. Понятно, что $f'$ — многочлен титтк $f$ — многочлен, но не понятно как доказать что если произведение $f'(x)f(x-1)$ то и $f$ многочлен.

[ИСН]

Нашли топор под лавкой. Ясно дело, если $f$ - многочлен, то $f'\cdot f$ - многочлен нечётной степени, а у нас налицо - чётной.
Простых функциональных уравнений не бывает. Есть такие, где удаётся случайно увидеть ответ, и все остальные. Все учебные задачи - из первой категории, но как их надо крутить в руках, чтобы этот ответ увидеть - никто заранее не скажет.

[ewert]

kp9r4d в сообщении #833250 писал(а):

не понятно как доказать что если произведение $f'(x)f(x-1)$ то и $f$ многочлен.

Если бы это удалось, то, наверное, удалось бы и доказать, что если произведение $f'(x)f(x)$, то и $f$ многочлен...

-- Чт мар 06, 2014 10:52:10 --

Да, если по существу. При больших иксах правая часть отрицательна; поэтому как сама функция, так и её производная сохраняет знак. Это означает, например, что функция положительна и монотонно убывает. Тогда как минимум по некоторой последовательности точек их произведение стремилось бы к нулю, но стремится-то оно в любом случае к бесконечности...

[kp9r4d]

Спасибо, всё понятно.

[ex-math]

Идея-то понятна, но вот до аккуратного доказательства еще далеко. И не факт, что не вылезут дыры.

[ewert]

ex-math в сообщении #833975 писал(а):

И не факт, что не вылезут дыры.

В каком месте они могли бы?...

[ex-math]

Ну вдруг, например, производная разрывна так, что, будучи умноженной на функцию, сохраняет знак, а не будучи -- не сохраняет.

[ewert]

Ну невозможно. Исходная функция, будучи дифференцируема -- автоматически непрерывна и, следовательно, сохраняет знак.

[kp9r4d]

Вы можете немного подробнее пояснить вот то:

ewert в сообщении #833291 писал(а):

Тогда как минимум по некоторой последовательности точек их произведение стремилось бы к нулю, но стремится-то оно в любом случае к бесконечности...

Я концепта не очень понял.

[ewert]

Так, ещё раз (я не понял, кто чего не понял). В правой части равенства стоит некая вполне определённая функция. И она ни разу не обращается в ноль. Ну и, следовательно, ни один из двух сомножителей в левой части не имеет права обращаться в ноль. Дальше нужно?...

[ex-math]

Функция может менять знак, проходя через ноль. В этих же точках производная может иметь разрывы второго рода. И может оказаться, что произведение их непрерывно и не имеет нулей, кроме $x=0;1$. Ситуация почти фантастическая, но ее надо тоже рассматривать.

[kp9r4d]

ewert в сообщении #834335 писал(а):

Так, ещё раз (я не понял, кто чего не понял). В правой части равенства стоит некая вполне определённая функция. И она ни разу не обращается в ноль. Ну и, следовательно, ни один из двух сомножителей в левой части не имеет права обращаться в ноль. Дальше нужно?...

Ну так ни один из сомножителей итак может не обращаться никогда в ноль. Допустим:
$f(x) \to 1, f'(x) \to -\infty$ при $x \to +\infty$.
Тогда в левой части равенства $f(x-1) f'(x) = x-x^2$ ни один сомножитель в нуль не обращается и произведение стремится к $-\infty$ как и правая часть равенства.

[ewert]

ex-math в сообщении #834338 писал(а):

Функция может менять знак, проходя через ноль.

Непрерывная функция не имеет права переходить через ноль, если она не равна нулю хоть в одной точке. Ну а она и не равна -- согласно правой части.

[ex-math]

ewert
Перечитайте внимательно. Ничто не запрещает функции обратиться в ноль, если производная в соответствующей точке имеет разрыв второго рода. Произведение будет иметь устранимый разрыв, если все удачно сложится. А функции с устранимыми разрывами сплошь и рядом доопределяют по умолчанию -- вот вам и многочлен в правой части.

[ИСН]

Функция непрерывна. Если она меняет знак, то имеет нули. Если есть нули у функции, то это же и нули произведения. Э? Или Вы предлагаете в этих точках иметь бесконечную производную, тем самым неопределённое произведение, и доопределять его по непрерывности? Дак это... непорядок.