Равносильность уравнений. Элементарный пример.

[Healer]

Добрый день!
Помогите пожалуйста разобраться. Макарычев, 7 класс, профильный уровень.
Равносильны ли уравнения:
$3x-2/x+2/x=x+2$
$3x=x+2$
В учебнике написано: "Уравнения называются равносильными, если множества их корней совпадают".
Решается. Совпадают. $x=1$.
В учебнике чуть ниже:
"...из данного уравнения получается равносильное ему уравнение,
1.(...здесь про перенос слагаемых с противоположным знаком..);
2.(...про умножение или деление на отличное от 0 число..);
3. если в какой-либо части или в обеих частях уравнения выполнить тождественное преобразование, не меняющее области определения уравнения."
Когда решали первое уравнение, приводя подобные слагаемые, мы изменили область определения уравнения. Т.е. третье свойство не выполняется. Тем не менее, мы все равно получили равносильное уравнение, по определению, приведенному в данном учебнике.
Получается, что тремя свойствами, перечисленными выше, не охватываются все равносильные преобразования? И, несмотря на всё, что мы можем сделать с областью определения, расширить, сократить и т.п., если в итоге мы получаем уравнения с одинаковыми множествами корней, то - эти уравнения равносильны?
Как 7-класснику ответить на вопрос, поставленный в задании?

[svv]

Чтобы не менять области определения, после приведения подобных ограничим её:
$3x=x+2,\quad x\neq 0$

Таким образом, мы выполнили тождественное преобразование
$-2/x+2/x=0,\quad x\neq 0$,
не меняющее области определения. Выкрутились?

[Healer]

Тогда получается, что уравнение $3x-2/x+2/x=x+2$ равносильно уравнению $3x=x+2$ при условии, что $x\ne0$. Так как последнее условие явно в тексте задачи не указано, мы делаем вывод, что уравнения не равносильны. Это понятно.
Только непонятно, почему возникает противоречие с определением равносильности из учебника?

[ewert]

Healer в сообщении #834144 писал(а):

, почему возникает противоречие с определением равносильности из учебника?

Потому, что вопрос несколько схоластичен. Неэквивалентные сами по себе преобразования вовсе не обязаны приводить к неэквивалентным уравнениям.

[svv]

Если Вы хотите сделать здесь красиво.

Уравнение $3x-2/x+2/x=x+2$ равносильно уравнению $3x=x+2$ при условии $x\neq 0$ по свойству 3.

А дальше применяем свойство 451 (как, его нет в учебнике?):
451. К области определения можно добавить ($\cup$) область, на которой уравнение также определено и которая не содержит новых корней.

Т.е., в нашем случае,
$\bigl((-\infty, +\infty)\setminus \{0\}\bigr)\cup\{0\}=(-\infty, +\infty)$

-- Сб мар 08, 2014 13:58:22 --

Healer в сообщении #834144 писал(а):

Только непонятно, почему возникает противоречие с определением равносильности из учебника?

Скорее в учебнике перечислены не все равносильные преобразования. И, кроме того, не для всяких равносильных уравнений обязана существовать цепочка равносильных преобразований, переводящая одно уравнение в другое.

[Healer]

Т.е. они могут привести к неравносильным уравнениям, но необязательно, что это произойдет. Понятно.
Я так понимаю, что правила про эквивалентность преобразований вводятся для того, чтобы были инструменты для преобразования выражений, которые точно не приведут к неравносильности, чтобы не приходилось перепроверять себя?

[ewert]

svv в сообщении #834150 писал(а):

Уравнение $3x-2/x+2/x=x+2$ равносильно уравнению $3x=x+2$ при условии $x\neq 0$

Тогда уж аккуратнее:

Уравнение $3x-2/x+2/x=x+2$ равносильно системе $\begin{cases}3x=x+2 \\ x\neq 0\end{cases}$

Или:

При условии $x\neq 0$ уравнение $3x-2/x+2/x=x+2$ равносильно уравнению $3x=x+2$

Всяко схоластика.

-- Сб мар 08, 2014 16:02:52 --

Healer в сообщении #834154 писал(а):

правила про эквивалентность преобразований вводятся для того, чтобы были инструменты для преобразования выражений, которые точно не приведут к неравносильности, чтобы не приходилось перепроверять себя?

Ну в общем да. Невозможно же привести исчерпывающий список таких преобразований (если только речь не идёт о вполне конкретных классах уравнений).

[Healer]

svv, ewert, спасибо!
Не посоветует ли кто-нибудь литературу на тему равносильности уравнений и неравенств(школьный уровень)? Теория + задачки потренироваться.

[iifat]

Сомневаюсь. Вопрос равносильности уравнений нигде отдельно, по-моему, не рассматривается. Равносильные преобразования размазаны по всей математике.
Да и определение, имхо, какое-то странное. Например, исходное равносильно $e^{x-1}-x=0$, кое, подозреваю, никакими преобразованиями из исходного не получится.

[Healer]

Самостоятельные поиски привели вот к этой книжке:
"Алгебраический тренажер" Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С.
Немного посидел над ней, посмотрел, порешал.
Задачи разделены по типам, авторы уделяют много внимания равносильности переходов.
Может быть кому пригодиться. Книга легко гуглится.