Дифференциальные формы равны, оличны ли интегральные ?

[GlazkovD]

Интересует скорее философский вопрос.

$$ \frac {dy} {dx} = f(x) $$

обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
В учебниках математики говорят так:
разделяем переменные и интегрируем левую и правую часть по x

$$ dy=f(x)dx $$

y=

$$\int_{}^{} f(x) dx + C $$

Тут же у меня восстает философский вопрос.
Слева я вижу

$$ 1 dy $$

. Я эту единицу если смотреть с одной стороны интегрирую по y т.к вижу знак дифференциала y. А справа по

$$x$$

т.к вижу знак дифференциала x.
Т.е с этой точки зрения можно сказать что я интегрирую по y и x.

С другой стороны

$$dy$$

тождественно равен

$$f(x)dx$$

по условию.
Т.е из за знака равенства дифференциалов можно интегрировать и левую и правую часть по x.
При этом интегрирование левой части сведется к формальной замене dy на y.

На ваш взгляд, вторая точка зрения верная ?


И еще вопрос.
Будет ли ошибкой такой подход к этому простейшему диффуру.

$$dy=f(x)dx$$

Можно подумать что дифференциалы тождественно равны, а примитивные могут отличаться на произвольные постоянные.

$$\int_{}^{} dy =\int_{}^{} f(x)dx $$

После интегрирования эти постоянные и появляются. Появились и примитивные y и F(x)

$$y+C1=F(x)+C2 $$

и C1 и C2 можем слить в общее C

$$y=F(x)+C$$

Ошибочно ли такое рассуждение, то что формально
дифференциалы (левый и правый) тождественно равны, а их первообразные
(левой и правой части) могут иметь различные произвольные постоянные ???


Заранее спасибо. Извините за беспокойство

[Brukvalub]

GlazkovD писал(а):

$$ \frac {dy} {dx} = f(x) $$

обыкновенное дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

А не лучше ли будет сказать так: поставлена задача найти на некотором промежутке все функции, производные которых равны функции

$$ \ f(x) $$

? Вот тогда Ваш ответ получится в точности по теоремам из классического анализа.