2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 17:49 
$\int_{2}^{3}dx\int_{0}^{1}f(x,y)dy$

Мало чего понимаю тут.

В первом случае полярный радиус меняется от х=2 до х=3, то есть $r=\frac{2}{cos\varphi}$ до $r=\frac{3}{cos\varphi}$
И в втором x=2 до y=1, то есть $r=\frac{2}{cos\varphi}$ до $r=\frac{1}{sin\varphi}$

А как выразить углы?

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 18:02 
Аватара пользователя
Ваша область — квадрат $A(2, 0), B(3, 0), C(3, 1), D(2, 1)$ (нарисуйте на листе в клеточку, чтоб лучше представлять).
Раз пределы $r$ зависят от $\varphi$, значит, интеграл по $\varphi$ внешний.
Интервал интегрирования по $\varphi$ разбивается на два, с разными законами $r_{\min}(\varphi)$ и $r_{\max}(\varphi)$. (Вы до этого и сами добрались).
Первый — от $\varphi_A=\varphi_B=0$ до $\varphi_C$.
Второй — от $\varphi_C$ до $\varphi_D$.
Вам остается только найти эти углы по координатам точек.

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 18:10 
Аватара пользователя
svv в сообщении #833858 писал(а):
Раз пределы $r$ зависят от $\varphi$, значит, интеграл по $\varphi$ внешний.
А вот это уже зависит от желания интегрирующего. Можно и радиус внешним сделать.

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 18:16 
Аватара пользователя
Конечно.
post817977.html#p817977

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 18:29 
svv в сообщении #833858 писал(а):
Ваша область — квадрат $A(2, 0), B(3, 0), C(3, 1), D(2, 1)$ (нарисуйте на листе в клеточку, чтоб лучше представлять).
Раз пределы $r$ зависят от $\varphi$, значит, интеграл по $\varphi$ внешний.
Интервал интегрирования по $\varphi$ разбивается на два, с разными законами $r_{\min}(\varphi)$ и $r_{\max}(\varphi)$. (Вы до этого и сами добрались).
Первый — от $\varphi_A=\varphi_B=0$ до $\varphi_C$.
Второй — от $\varphi_C$ до $\varphi_D$.
Вам остается только найти эти углы по координатам точек.


Если честно то не знаю как выражается угол $$\varphi_C$$. Представляю что можно провести прямую в точку C через ось тангенса, и использовать функцию arctg для выражения нужного угла. Но кто его знает какое значение тангенса там будет.

Скажите как это делается по точке?

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 18:53 
Logan в сообщении #833878 писал(а):
Представляю что можно провести прямую в точку C через ось тангенса,
Ни один учёный не знает, кто такая ось тангенса.
Logan в сообщении #833878 писал(а):
и использовать функцию arctg для выражения нужного угла. Но кто его знает какое значение тангенса там будет.
Любая домохозяйка знает, какое значение возвращает функция arctg с одним аргументом.

(Любой программист знает функцию arctg с двумя аргументами. Но в нашем случае достаточно домохозяйки и одного аргумента).

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 18:59 
Алексей К. в сообщении #833895 писал(а):
Logan в сообщении #833878 писал(а):
Представляю что можно провести прямую в точку C через ось тангенса,
Ни один учёный не знает, кто такая ось тангенса.
Logan в сообщении #833878 писал(а):
и использовать функцию arctg для выражения нужного угла. Но кто его знает какое значение тангенса там будет.
Любая домохозяйка знает, какое значение возвращает функция arctg с одним аргументом.

(Любой программист знает функцию arctg с двумя аргументами. Но в нашем случае достаточно домохозяйки и одного аргумента).


arctg даст значение угла, я имел ввиду что не могу точно определить значение нужного мне tg(?) графически.

arctg(y/x) ?

-- Пт мар 07, 2014 20:46:09 --

$$\int_{2}^{3}dx\int_{0}^{1}f(x,y)dy$=\int_{0}^{arctg(\frac{1}{3})}d\varphi \int_{\frac{2}{cos\varphi }}^{\frac{3}{cos\varphi }}r\cdot f(rcos\varphi ,rsin\varphi )+\int_{arctg(\frac{1}{3})}^{arctg(\frac{1}{2})}d\varphi \int_{\frac{2}{cos\varphi }}^{\frac{1}{sin\varphi }}r\cdot f(rcos\varphi ,rsin\varphi )$

Так ребята?

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 20:19 
Logan в сообщении #833898 писал(а):
arctg(y/x) ?
Да.
Все Ваши точки в первом квадранте.

У Вас в окончательных интегралах пропущена переменная интегрирования.
Меня это совершенно сбивает с толку, и, хотя я подозреваю, что это $dr$, проверить результат смогу только утром: по утрам я сильно толерантнее к отсутствию переменных интегрирования. И к синусам-косинусам-арктангенсам, записанным в столь жуткой форме: палочку ставить надо: \cos\varphi.

А может повезёт, и кто-то другой, обладающий вечерней толерантностью, проверит. :D

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 20:38 
$$$\int_{2}^{3}dx\int_{0}^{1}f(x,y)dy$=\int_{0}^{arctg(\frac{1}{3})}d\varphi \int_{\frac{2}{\cos\varphi }}^{\frac{3}{\cos\varphi }}r\cdot f(r\cos\varphi ,r\sin\varphi )dr+\int_{arctg(\frac{1}{3})}^{arctg(\frac{1}{2})}d\varphi \int_{\frac{2}{\cos\varphi }}^{\frac{1}{\sin\varphi }}r\cdot f(r\cos\varphi ,r\sin\varphi )dr$

$

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 21:04 
та вроде аккуратно и правильно.

 
 
 
 Re: Переход в полярные координаты
Сообщение07.03.2014, 21:48 
Аватара пользователя
Алексей К. в сообщении #833895 писал(а):
Любой программист знает функцию arctg с двумя аргументами.
А представьте класс TAtan. Его экземпляр помнит старое значение угла и может по $x, y$ вычислить новое значение в предположении, что оно отстоит от старого меньше чем на $\pi$ в любую сторону. Так можно и до $20\pi$ дойти.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group