уравнение

[rightways]

Дано натуральное число $ n > 2 $ . Докажите, что уравнение
$ xy+yz+zx= 2( n^2-2) $
имеет решение в натуральных числах $x, y, z$

[Cash]

Это попросту неправда. При нечетном $n$ выходит нестыковка по модулю $4$.

[Руст]

Cash в сообщении #833917 писал(а):

Это попросту неправда. При нечетном $n$ выходит нестыковка по модулю $4$.

Почему нет?
Например $n=3$ решение $x=2,y=4,z=1$.

Можно просто искать $x=s-t,y=s+t$. Тогда
$z=\frac{2n^2-4+t^2-s^2}{2s}$.
В качестве s можно взять простой делитель n.

[Cash]

Ну да, два чётных я и выпустил...

[Dave]

Фиксируем $z=2$, переносим число $4$ в левую часть, которую раскладываем на множители, а дальше уже просто.