Теорема Гаусса, случай когда заряд находится на поверхности

[RustamG]

Здравствуйте!

Хотелось бы задать следующий вопрос. При доказательстве теоремы Гаусса рассматриваются лишь те случаи, когда заряды находятся либо строго внутри, либо строго снаружи замкнутой поверхности, через которую вычисляется поток. О случае, когда заряд находится в точности на поверхности ничего не говорится. Так вот, как быть в этом случае? Еще мне непонятно, почему, когда решают задачи, например, когда находят напряженность поля внутри равномерно заряженного по объему шара, это просто игнорируют? Ведь мы мысленно выделяем сферическую поверхность внутри шара, и применяем теорему Гаусса, а ведь на этой сферической поверхности есть заряд, так как заряд внутри шара распределен непрерывно!

[g______d]

RustamG в сообщении #833624 писал(а):

О случае, когда заряд находится в точности на поверхности ничего не говорится.

Если поверхность является гладкой в данной точке, то можно взять маленькую сферу в окрестности заряда и выкинуть из области. Поток через новую поверхность равен нулю, следовательно, поток через поверхность, почти совпадающей с исходной исходной, равен потоку через полусферу, т. е. в пределе поток через исходную поверхность равен половине потока, соответствующего заряду.

[RustamG]

Извините, я вас не понял. Можете подробнее объяснить, что вы пытаетесь сделать? А вообще меня посетила еще следующая мысль.

Вообще, изначально закон Кулона для точечного заряда определен на любых расстояниях от заряда, кроме 0. Следовательно, вопрос о том, какой поток создает точечный заряд через поверхность, на которой он находится, не имеет смысла, так как,считая поток через все маленькие площадки поверхности, мы придем к тому, что нужно будет посчитать поток через площадку, на которой сам точечный заряд находится, а поле там не определено, следовательно и поток посчитать не возможно. Ведь закон Кулона ничего не говорит о поле в точке нахождения самого заряда.

Также отсюда можно сделать вывод, что вообщем задавать вопрос, каков вектор напряженности Е внутри равномерно заряженного шара, также не имеет смысла из следующих соображений. Поле в какой либо точке внутри шара является суперпозицией полей бесконечного количества точечных зарядов, из которых он состоит. Будем считать поле от каждого точечного заряда, из которого состоит заряженный шар, но затем мы придем к тому, что необходимо будет посчитать вклад в суммарное поле от точечного заряда, который находится непосредственно в точке, в которой ищется поле Е. А для этой ситуации закон Кулона не определяет поле. Следовательно, и все поле не определено.

Что скажете по поводу этих рассуждений? На мой взгляд это реально проблема, и совсем необоснованно решают задачи, игнорирую этот факт.

[g______d]

Для этого и придумали интеграл, чтобы придать строгий смысл таким предельным переходам.

[Ms-dos4]

1)Ситуация, когда заряд лежит точно на поверхности физического смысла не имеет, т.к. точечный заряд - идеализация, которой пользуются, когда размеры системы много больше размера заряда. Когда же он лежит на поверхности (а она бесконечно тонкая), точки поверхности рядом с ним не удовлетворяют условию, сказанному выше.
2)В классической электродинамике истинно точечных зарядов нет, т.к. вообще говоря они приводят к таким затруднениям, как бесконечная собственная энергия (и следственно масса точечной частицы). Для энергии дело решается перенормировкой потенциала, когда мы выкидываем бесконечную часть, не зависящую от расположения зарядов (хотя кое-какие проблемы, когда заряд один, остаются, но от ваших вопросов это далеко).

[RustamG]

g______d в сообщении #833630 писал(а):

Для этого и придумали интеграл, чтобы придать строгий смысл таким предельным переходам.

Вы меня не поняли. Я говорю, что из-за того что закон Кулона ничего не говорит о поле в точке нахождения самого заряда, то и вопрос о поле в точках, например внутри равномерно заряженной сферы, смысла не имеет, пока не указан закон нахождения вектора Е в точке расположения самого точечного заряда.

[Ms-dos4]

Я уже написал выше, точечных зарядов нет, и говорить о поле заряда в точке самого заряда (и рядом с ним на очень малых расстояниях) смысла нет.

[RustamG]

Ms-dos4 в сообщении #833634 писал(а):

1)Ситуация, когда заряд лежит точно на поверхности физического смысла не имеет, т.к. точечный заряд - идеализация, которой пользуются, когда размеры системы много больше размера заряда. Когда же он лежит на поверхности (а она бесконечно тонкая), точки поверхности рядом с ним не удовлетворяют условию, сказанному выше.
2)В классической электродинамике истинно точечных зарядов нет, т.к. вообще говоря они приводят к таким затруднениям, как бесконечная собственная энергия (и следственно масса точечной частицы). Для энергии дело решается перенормировкой потенциала, когда мы выкидываем бесконечную часть, не зависящую от расположения зарядов (хотя кое-какие проблемы, когда заряд один, остаются, но от ваших вопросов это далеко).

Я здесь хочу рассмотреть не физику, а строго внутри теории, что происходит? Ведь закон Кулона постулируется для точечных зарядов. Также нельзя делать, сначала рассматривать абстракции, постулировать закон Кулона, используя абстракции, а затем, когда появляется вопрос, который непонятно, как решается внутри теории, говорить о физическом смысле.

[Ms-dos4]

Классическая электродинамика содержит противоречия, если рассматривать точечные заряды, так что она просто ограничена некоторыми пределами, в которых верна. Вот и всё

[RustamG]

Ms-dos4 в сообщении #833639 писал(а):

Классическая электродинамика содержит противоречия, если рассматривать точечные заряды, так что она просто ограничена некоторыми пределами, в которых верна. Вот и всё

Тогда объясните следующее. Рассмотрим классическую задачу. Найти вектор Е внутри равномерно заряженного шара. Просто берут сферу внутри выделяют, и считают заряд внутри сферы. Но, согласитесь, что на поверхности выделенной сферы присутствует заряд, а его просто игнорируют. Как прокомментируете это?

[Ms-dos4]

Когда шар равномерно заряжен по объёму, заряд на наружной бесконечно тонкой поверхности бесконечно мал, и не вносит ошибки. (Это то же самое, что если вы при подсчёте площади фигуры выкинете из неё линию, у которой нулевая площадь). Это как раз тот предельный переход, о котором вам говорил g______d

[RustamG]

Ms-dos4 в сообщении #833643 писал(а):

Когда шар равномерно заряжен по объёму, заряд на наружной бесконечно тонкой поверхности бесконечно мал, и не вносит ошибки. (Это то же самое, что если вы при подсчёте площади фигуры выкинете из неё линию, у которой нулевая площадь). Это как раз тот предельный переход, о котором вам говорил g______d

а с чего вы взяли, что делать нужно именно так? откуда такой рецепт? (я извиняюсь мне сейчас нужно уходить в универ, но я потом обязательно продолжу)

[Ms-dos4]

RustamG
О чём вы, какой рецепт? Я честно говоря не очень то понимаю, к чему вы в теореме Гаусса прицепились. Если вы например знаете, как определяется интеграл Римана, то с предельным переходом у вас проблем быть не должно. А вы говорите примерно следующее: "а если мы будет считать площадь под кривой, разбивая её на бесконечно малые участки, то что делать с местами, которые являются границей участков(линии)". Очевидно, что их мера - нуль (в смысле площади), и делать с ними ничего не надо. Так и здесь, тот заряд, который попал на поверхность выделенной сферы, бесконечно мал, и при интегрировании "неучёт" вклада сферической поверхности никак не скажется (совсем другое дело, что если заряжена именно тонкая сфера - там на ней уже конечный заряд, но это опять же абстрактная задача). То же с потоками, если вас волнует якобы "неучёт" сферического слоя радиуса $\[a\]$ при определении поля на этом же расстоянии от центра шара с помощью теоремы Гаусса, то все вышесказанное так же работает и тут, конкретный слой даёт бесконечно малый поток, так как в нём бесконечно малый заряд.

[zer0]

ТС, похоже, объемные интегралы не умеет считать. Интересно, когда не заряд, а масса - она тоже "накапливается" на границе?

[rustot]

RustamG в сообщении #833640 писал(а):

Тогда объясните следующее. Рассмотрим классическую задачу. Найти вектор Е внутри равномерно заряженного шара. Просто берут сферу внутри выделяют, и считают заряд внутри сферы. Но, согласитесь, что на поверхности выделенной сферы присутствует заряд, а его просто игнорируют. Как прокомментируете это?

его вовсе не обязательно игнорировать. его можно скурпулезно весь посчитать, убедиться что суммарно он на результат не влияет и тогда в будущем не считать. вы просто пользуетесь рецептом от тех, кто это уже проделал