Нахождение области значений функции

[BENEDIKT]

В учебнике дан пример нахождения области значений функции $y=\sin x+ \cos x$

Преобразуем функцию $y=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x)=\sqrt{2}(\sin \frac{\pi}{4}\sin x+\cos \frac{\pi}{4}\cos x)=\sqrt{2}\sin (x+\frac{\pi}{4})$
Т. к. $\lvert \sin(x+\frac{\pi}{4}) \rvert \leq 1$, то $\lvert \sqrt{2} \sin(x+\frac{\pi}{4}) \rvert \leq \sqrt{2}$, $\lvert y \rvert \leq \sqrt{2}$, $-\sqrt{2} \leq y \geq \sqrt2{}$

Непонятна сама методика нахождения области значений подобных функций, состоящих из нескольких других. Откуда вообще взялся $\sqrt {2}$, вынесенный за скобки? С чего начинать в подобных случаях? И почему, извиняюсь за глупый вопрос, область значений функции $y=\sin x+ \cos x$ не равна $[-2; 2]$?

[ИСН]

По порядку: $\sqrt {2}$ взялся из общего приёма, который позволяет из суммы косинусов и/или синусов получить один косинус и/или синус. Начинать всегда надо с разного. Область значений функции не равна $[-2; 2]$ потому, что укажите мне такой $x$, при котором будет значение 2 или -2, да?

[RIP]

BENEDIKT в сообщении #833316 писал(а):

Непонятна сама методика нахождения области значений подобных функций, состоящих из нескольких других.

Общего алгоритма на все случаи жизни и нет. Однако…

BENEDIKT в сообщении #833316 писал(а):

Откуда вообще взялся $\sqrt {2}$, вынесенный за скобки?

Это стандартный приём. Называется "метод вспомогательного угла" или что-то в этом духе. См., например, здесь.

BENEDIKT в сообщении #833316 писал(а):

И почему, извиняюсь за глупый вопрос, область значений функции $y=\sin x+ \cos x$ не равна $[-2; 2]$?

Оно, конечно, $\sin x+\cos x\leqslant2$, однако, чтобы получить $2$, должно было бы выполняться $\sin x=\cos x=1$, но так не бывает.

[BENEDIKT]

ИСН, RIP
Большое спасибо за помощь.

[tavrik]

нарисовать тоже полезно
здесьhttps://www.wolframalpha.com/input/?i=sinx%2Bcosx или самому