Векторные пространства, базис

[Ubermensch]

Доказать, что все n-мерные векторы, у которых первая и последняя координаты равны между собой, образуют линейные подпространства. Найти их базис и размерность.

Но ведь базис может быть любой, например (1, 2, 5, 8, 2000). Тогда координаты $a_1, a_2=a_1/2000$ будут такого вида. Получается базис может быть любой?

http://dxdy.ru/topic46397.html вот здесь похожая задача. Но ведь там же базис может быть любой, если в координатном столбце на четных местах стоят нули. Или же базис должен иметь нули на четных местах, а координатный столбец тогда любой.

[ewert]

Ubermensch в сообщении #832716 писал(а):

Найти их базис и размерность.

Но ведь базис может быть любой,

Да, формулировка вопроса вполне безграмотна. Но подобная безграмотность встречается достаточно часто, и к этому полезно привыкнуть. Интерпретируйте этот вопрос (и аналогичные в аналогичных задачках) как: "предложите хоть какой-нибудь базис".

[mihailm]

Ubermensch, вы не понимаете пока задачу.
Начните со случая $n=2$, разберите его сначала

[Ubermensch]

Вот случай для n=2
базис - $(1, 101)$, координатный столбец $(202, 2)$. Вектор $(202, 202)$ Первые и последние координаты равны.
Пусть $u=(x, x)$, $v=(y, y)$. $u+v=(x+y, x+y)$ С умножением аналогично. А как искать базис и размерность - не знаю.

[AV_77]

Ubermensch в сообщении #832735 писал(а):

Вот случай для n=2
базис - $(1, 101)$

Это базис чего?

[Ubermensch]

Произвольный базис множества двумерных векторов. А векторы с координатным столбцом вида $(n, n/101)$ образуют подпространство векторов, у которых первая и последняя координаты равны.

[Munin]

Я почему-то уверен, что базис не может быть цепочкой чисел...

[AV_77]

Да что вы говорите! Давно ли двумерное векторное пространство имеет базис из одного элемента?
И во-вторых. Базис чего вас просят найти? Исходного пространства или все-таки его подпространства? Если второе, то разве вектор $(1, 101)$ лежит в нужном подпространстве?

[Ubermensch]

Почему из одного. 1 - первый, 101 - второй.

То есть это могло бы быть базисом двумерного пространства, а подпространства с указанными свойствами не могло бы, потому что не удовлетворяет свойству векторов этого подпространства?

[provincialka]

Ubermensch в сообщении #832753 писал(а):

То есть это могло бы быть базисом двумерного пространства, а подпространства с указанными свойствами не могло бы, потому что не удовлетворяет свойству векторов этого подпространства?

И базисом исходного не является. И подпространству не принадлежит.

Ubermensch в сообщении #832735 писал(а):

базис - $(1, 101)$, координатный столбец $(202, 2)$. Вектор $(202, 202)$ Первые и последние координаты равны.

О боже

[Ubermensch]

$e_1=(1, 0)$,$e_2=(0, 101)$. $e=(e_1, e_2)$

[neo66]

А что это за магическое число $101$? Вы другие числа знаете?

[Ubermensch]

Еще 1, 2, 5, 8, 2000 знаю, а толку

[provincialka]

А вот приведите-ка пример какого-нибудь вектора из $\mathbb R^3$, принадлежащего указанному подпространству.

[Ubermensch]

(0, 0, 0)