Найти численное решение СЛДУ

[Городецкий Павел]

Помогите пожалуйста!
Изначально построен граф состояний системы:

в соответствии с этим графом имеем систему линейных дифференциальных уравнений:

\[ \left\{ \begin{gathered} p_{0,0}^{'} (t) = - \lambda _{0,0} p_{0,0} (t) + \sum\nolimits_{i = 1}^m {\lambda _{i,1} q_{i,1} p_{i,1} (t)} \hfill \\ p_{i,0}^{'} (t) = - \lambda _{i,0} p_{i,0} (t) + \lambda _{i - 1,1} q_{i - 1,1} p_{i - 1,1} (t) \hfill \\ p_{m,0}^{'} (t) = \lambda _{m - 1,1} q_{m - 1,1} p_{m - 1,1} (t) \hfill \\ p_{1,1}^{'} (t) = - \lambda _{1,1} p_{1,1} (t) + \lambda _{0,0} (1 - q_{0,0} )p_{0,0} (t) \hfill \\ p_{i,1}^{'} (t) = - \lambda _{i,1} p_{i,1} (t) + \lambda _{i - 1,0} (1 - q_{i - 1,0} )p_{i - 1,0} (t) \hfill \\ p_{m,1}^{'} (t) = \lambda _{m,1} q_{m,1} p_{m,1} (t) + \lambda _{m - 1,0} (1 - q_{m - 1,0} )p_{m - 1,0} (t) + \lambda _{m - 1,1} (1 - q_{m - 1,1} )p_{m - 1,1} (t) \hfill \\ \end{gathered} \right. \]

Начальное условие:

\[p_{0,0} (t = 0) = 1\]

Необходимо найти

\[p_{m,0} (t)\]

Далее, если например решать в среде MathCad, то будут получаться примерно такие зависимости при конкретных значениях

\[m,\lambda \]

и q (равных между собой для простоты):

То есть на небольшом отрезке времени решение ведет себя как линейная функция. То есть мне бы очень хотелось получить несколько точек, через которые проходит график решения основываясь только на

\[m,\lambda \]

и q.
Спасибо!

[незваный гость]

Ваша система эквивалентна $\overbar y' = A \overbar y$, где $\overbar y = \left( \begin{array}{l} p_{0,0}(t) \\ p_{1,0}(t) \\ … \\ p_{m,0}(t) \\ p_{0,1}(t) \\ p_{1,1}(t) \\ … \\ p_{m,1}(t)\end{array}\right)$, а $A$ — матрица, зависящая от $\lambda_{i,j}$ и $q_{i,j}$. Очевидно, что если $\lambda$ и $q$ постоянны, то постоянна и $A$. В этом случае решение уравнения хорошо известно: $y(t) = {\rm e}^{A t} y(0)$. Матричная экспонента определяется либо через ряд (вполне аналогично обычной экспоненте), либо приведением через диагональное представление (если $A = \Phi^t {\rm{diag}}(\xi_i) \Phi$, $\Phi$ — ортогональная, а ${\rm{diag}}(\xi_i)$ — диагональная матрица с $\xi_i$ на диагонали, то ${\rm e}^{At} = \Phi^t {\rm{diag}}({\rm e}^{\xi_i\,t}) \Phi$).

[Городецкий Павел]

Простите пожалуйста, а где мне прочитать про разложение в ряд матричной экспоненты?

[Brukvalub]

Например, в любом "продвинутом" учебнике по ОДУ, в частности, здесь: Понтрягин Л.С. — Обыкновенные дифференциальные уравнения