Периметр рационального треугольника с площадью S

[scwec]

Пусть заданы рациональное число $S>0$ и вещественное число $R>0$.
Докажите, что среди всех треугольников с рациональными длинами сторон и площадью $S$ найдется бесконечно много треугольников, каждый из которых имеет периметр больше, чем $R$.

[scwec]

Решение может быть таким.
Рассмотрим семейство рациональных треугольников с длинами сторон
$a=kS\dfrac{(k^2S-2)^2+16}{2(k^4S^2-4)}$
$b=\dfrac{k^2S+2}{2k}$
$c=\dfrac{(k^2S-2)^2+4k^4S^2}{k(k^4S^2-4)}$
и площадью $S$.
Периметр $P=\dfrac{kS(k^2S+2)}{k^2S-2}$
где рациональные $k$ таковы, что $k^2S-2>0$
Можете проверить, что $a,b,c$ удовлетворяют неравенствам треугольника т.е.
$a+b>c,a+c>b,b+c>a$.
Ясно, что $P>kS$ и при $k>\dfrac{R}{S}$ треугольники имеют периметр больше чем $R$
что и требовалось доказать.
Верно ли утверждение задачи, если потребовать, чтобы треугольники были прямоугольные?
Видимо, да. Попробуйте доказать.