помогите решить задачу по УМФ(задача Неймана)

[Mega31]

При каких $\alpha$ и $\beta$ существует решение в кольце $\Omega = (r,\varphi )$ $1<r<2$ , $0 \leq \varphi <2\pi$


$\Delta U = r^{2} \sin^{2}\varphi $


$(\frac{ \partial u}{ \partial n}\mid_{r=1} )=\alpha \sin^{2}\varphi $

$(\frac{ \partial u}{ \partial n}\mid_{r=2} )=\beta \sin^{2}\varphi $


Как делать , с чего нужно начать??

[Vince Diesel]

Интеграл от правой части по области должен быть равен потоку через границу.

[Mega31]

я посчитал интеграл , получил $\frac{7\pi}{3}$, но не понимаю , что значит интеграл должен быть равен потоку через границу.
P.S (во втором условии , должно стоять $\beta\cos^{2}\varphi$ вместо $\beta\sin^{2}\varphi$

[Munin]

Mega31 в сообщении #832301 писал(а):

Как делать , с чего нужно начать??

Может, с теоремы Гаусса?

[Mega31]

Vince Diesel в сообщении #832392 писал(а):

Интеграл от правой части по области должен быть равен потоку через границу.

Вроде разобрался и решил) А вы не скажите , почему это будет необходимым и достаточным условием?

[ewert]

Mega31 в сообщении #836053 писал(а):

А вы не скажите , почему это будет необходимым и достаточным условием?

Физический ответ: это очевидно. Если в область впрыскивается больше тепла, чем выпрыскивается, ну или наоборот, -- то о какой стационарной задаче теплопроводности вообще может идти речь?... (а ведь это именно она)

Математический ответ: после подстановки, делающей неоднородные граничные условия однородными, и соответствующего пересчёта правой части всё сводится к шаблонному утверждению: операторная задача разрешима тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна всем решениям соответствующей однородной сопряжённой задачи (ну с точностью до несущественных в данном случае ньюанецов).