Решение интеграла вида (1/Asinx+Bcosx+C) без подстановки

[Philisophe]

Есть интеграл, который я не могу решить:
$\int{\frac{dx}{8-4\sin x + 7\cos x}}$

Существует универсальная тригонометрическая подстановка, но поскольку мы проходили её "условно", то предполагается, что использовать её не нужно для решения этого примера.
Мне сказали, что первым действием необходимо перейти к половинному аргументы, заменив
$4\sin x$ на $8\sin {\frac{x}{2}}}\cos{\frac{x}{2}}}$,
$7\cos x$ на $7(\cos^2{\frac{x}{2}} - \sin^2{\frac{x}{2}})$
И разложив единицу по основному тождеству (с тем же половинным аргументом, разумеется).

Вопрос в том, что делать дальше?
Выражение, которое у меня получается после приведения всего не слишком красивое, сходу разложить его как-то не удаётся.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Ну вообще, конечно, при взятии неопределенного интеграла подстановки можно всегда избежать. Нужно просто взять интеграл с использованием подстановки, а затем в каждом преобразовании заменить подстановку на обратную к ней. В решении вписать только цепочку преобразований без подстановки. Маразм, но формально все корректно. А если препод не поверит, то сказать, что Эйлер приснился и подсказал.

Более формально:
Пусть $A_0$ - исходное выражение, $A_n$ - итоговое выражение.
$\varphi$ - подстановка, $\varphi^{-1}$ - обратная подстановка, $\psi=\psi_n...\psi_1$ - цепочка преобразований. Вся цепочка преобразований - это $\varphi^{-1}\psi\varphi$. Обозначим $\varphi(A_0)=B_0, \psi_j(B_{j-1})=B_j, j=1,...,n, \varphi^{-1}(B_n)=A_n$. $\varphi^{-1}\psi\varphi=(\varphi^{-1}\psi_n\varphi)...(\varphi^{-1}\psi_1\varphi)$. Обозначим $\psi_j'=\varphi^{-1}\psi_j\varphi$ и $A_j=\psi_j'(A_{j-1})$. Диаграммка с отображениями $\varphi^{-1},\psi_j,\varphi,\psi_j'$ коммутативная получается.
Вычисляете $A_0,A_1,...,A_n$ и пишите их, а в качестве цепочки преобразований указываете $\psi_1',...,\psi_n'$.

[Hfdxbr]

После следует вынести $\cos^2{\frac{x}{2}}$ за скобку и внести его под дифференциал.
После замены переменной сведётся к интегралу вида $\int \frac{2 dt}{t^2-8t+15}$

[provincialka]

Hfdxbr в сообщении #832021 писал(а):

После следует вынести $\cos^2{\frac{x}{2}}$ за скобку и внести его под дифференциал.

И под дифференциалом окажется тот самый тангенс половинного. То же яйцо, только в профиль.

[Hfdxbr]

Ну вылезает там тангенс половинного, но ведь никаких подстановок не используется. Или вы хотите свести интеграл к табличному не меняя выражения под дифференциалом?

[Philisophe]

Спасибо, Hfdxbr, разобрался.
Думаю, что именно этого ждал от меня препод.

Sonic86

(Оффтоп)

Приёмами формата "Приснилось"/"почудилось" я пользуюсь уже давно. А вот Ваша формальная запись для меня несколько запутанна, поэтому, наверное, обойдусь без неё. В любом случае спасибо.

[Sonic86]

(Philisophe)

Не обращайте внимания, это такая самодельная полушутка, не очень удачная.