Степень двойки

[Руст]

Еще одна задача:
Let p be a prime number greater than 10. Prove that there exist distinct positive integers $a_1, a_2,\cdots, a_n$ such that $n \le\frac{p+1}{4}$ and

$\frac{(p-a_1)(p-a_2)\cdots(p-a_n)}{a_1a_2\cdots a_n}$

is a positive integral power of 2.

[mihiv]

Если $q$ нечетное число $<p$, то $p-q=2^kb$, где $ b$- нечетное,$k\geqslant 1$. Очевидно $b\leqslant \dfrac {p-1}{2}$.
Число нечетных чисел $\leqslant \dfrac {p-1}2$ не превышает $n_0=\dfrac {p+1}4$.
Образуем последовательность нечетных натуральных чисел $b_i$ по правилу: $b_1=1, p-b_i=2^{k_i}b_{i+1}(i>1)$.
Все $b_i\leqslant \dfrac {p-1}2$, поэтому не позже номера $i=n_0+1$ числа в последовательности начнут повторяться.
Если, скажем, первые два одинаковых числа, появившиеся в последовательности $b_m=b_l,n_0+1\geqslant m>l\geqslant 1$, то можно положить $a_1=b_l, a_2=b_{l+1},\dots ,a_n=b_{m-1}$.