Теория вероятности. Ширяев.

[nik2014]

Пытаюсь разобраться с задачей из сборника Ширяева.
Дано:
Пусть $a_{1},a_{2},...a_{n}$ - однородная марковская цепь с множеством состояний Х и матрицей перехода$Р=||p_{x,y}||$. Обозначим, $Tg(x)=M(g(a{1})|a{1}=x)=\sum_y(g(x)p_{x,y})$. Пусть неотрицательная функция $g$ удовлетворяет уравнению

$$ Tg(x)=g(x),$$

где $x$ принадлежит $X$.
Доказать, что последовательность случайных величин $b=(b_{k}, D_{k}^{a}),$ где $ D_{k}^{a}$ - разбиение относительно $a$ c $ b_{k}=g(a_{k})$ образует мартингал.
Как я рассуждаю: нужно доказать, что последовательность мартингал, для этого нужно рассмотреть $b_{k}$ показать, что $b_{k}$ измерима относительно $D_{k}^{a}$ и показать, что $M(b_{k}|D_{k}^{a})=b_{k}$. Марковость $a_{i}$ должна пригодиться при доказательстве второго пункта про математическое ожидание. Начинаю со второго пункта.Как раскрутить дальше формулу ни как не пойму. $M(b_{k}|D_{k}^{a})=М(g(a_{k})|D_{k}^{a})=M(g(a_{1})|a{_1}=a_{k})$ Подскажите с преобразованиями.

[--mS--]

nik2014 в сообщении #831759 писал(а):

Пытаюсь разобраться с задачей из сборника Ширяева.

Точную формулировку задачи приведите, поскольку ни таких обозначений, ни такого сюрреализма в этом задачнике нет и не было:

nik2014 в сообщении #831759 писал(а):

Обозначим, $Tg(x)=M(g(a{1})|a{1}=x)=\sum_y(g(x)p_{x,y})$.

$\mathsf E(g(a_1) | a_1=x)=g(x)$, какой бы ни была $g(x)$. Как и сумма, что в правой части - из неё достаточно $g(x)$ вынести, чтоб всё остальное стало единицей.

nik2014 в сообщении #831759 писал(а):

Доказать, что последовательность случайных величин $b=(b_{k}, D_{k}^{a}),$ где $ D_{k}^{a}$ - разбиение относительно $a$ ...

Что за разбиение?

nik2014 в сообщении #831759 писал(а):

... показать, что $b_{k}$ измерима относительно $D_{k}^{a}$ и показать, что $M(b_{k}|D_{k}^{a})=b_{k}$.

Из измеримости это следует по определению УМО, вот только мартингалы тут ни при чём.

Я затрудняюсь дать разумную интерпретацию приведённому условию задачи. Разве только имеется в виду задача 4 параграфа 9 гл. VIII.

[nik2014]

Задача сформулирована как в учебнике.
"Вероятность"стр 143, задача№3
ссылка на учебник http://ef.donnu.edu.ua/emk/Data/TVMS/Po ... iriaev.pdf

[--mS--]

Итак, это не сборник (задач), а учебник. И задача там сформулирована верно. В отличие от Вашей.