Решение уравнения Лапласа на плоскости при совпадении точек

[wizar]

Известно, что на плоскости при $r \neq 0$ решением уравнения Лапласа является функция $\log(\frac {1}{r})$, где $r$ - функция расстояния. Возник вопрос, что делать, в случае, если точки совпали, т.е расстояние равно нулю? Есть некая формула, но я совершенно не понимаю как её получили: $ds (1 - \log(0.5 ds))$

Контекст задачи: найти значение потенциала на границе области, в данном случае - квадрат.

[svv]

Расскажите подробнее о задаче. Внешняя? Внутренняя? Дирихле? Неймана? Конкретные условия на границе?

[Munin]

wizar в сообщении #830539 писал(а):

Есть некая формула, но я совершенно не понимаю как её получили: $ds (1 - \log(0.5 ds))$

Откуда вообще она "есть"?

Выглядит как какая-то приближённая формула (обрезание?) для какого-то численного метода решения (в конечных разностях?).

[wizar]

svv в сообщении #830568 писал(а):

Расскажите подробнее о задаче. Внешняя? Внутренняя? Дирихле? Неймана? Конкретные условия на границе?

Если честно, не особо разбираюсь в классификации, подзабыл уж всё. Задача нахождения потенциала на границе области, стандартно анод-изолятор-катод, граничные условия сейчас не могу выписать, но если оно нужно - то завтра обязательно.
Суть в том, что используя формулу Грина перешёл к граничному интегральному уравнению, которое в свою очередь решаю методом конечных сумм. Результат коррелирует с реальностью, но где-то явно закралась ошибка (не совпадает с точным решением, да и даже сила тока на аноде не совпадает с катодом). Грешу вот либо на эту формулу для случая совпадающих точек, либо на угловые точки.

Цитата:

Откуда вообще она "есть"?

Из примера решения подобной задачи для круга. Понимаю, что принципиальной разницы нету, но всё же. И да, почти чистый ЧМ. Буду рад любой информации.

[svv]

wizar в сообщении #830573 писал(а):

граничные условия сейчас не могу выписать

Ну, хоть скажите простыми словами, где, что и как задано?

[wizar]

svv в сообщении #830575 писал(а):

wizar в сообщении #830573 писал(а):

граничные условия сейчас не могу выписать

Ну, хоть скажите простыми словами, где, что и как задано?

Граничные условия на аноде и катоде. Что-то в духе $ u + (C_a \sigma ) \frac {du} {dn} = \varphi _a$, на области анода. Аналогично для катода, и равенство нулю производной по нормали на области изолятора.

[svv]

Хотелось бы увидеть и само интегральное уравнение.

Скорее всего, понадобится вывести формулу, связывающую предельное значение $u$ на границе и значение, получаемое прямым взятием несобственного интеграла для граничной точки (это разные вещи).

Что такое $\varphi_a$ в граничном условии? Это константа или нет?

[wizar]

svv в сообщении #830595 писал(а):

Хотелось бы увидеть и само интегральное уравнение.

Скорее всего, понадобится вывести формулу, связывающую предельное значение $u$ на границе и значение, получаемое прямым взятием несобственного интеграла для граничной точки (это разные вещи).

Что такое $\varphi_a$ в граничном условии? Это константа или нет?

Завтра обязательно будет) $\varphi_a$ - константа, напряжение на аноде. И спасибо за помощь.

[Munin]

wizar в сообщении #830573 писал(а):

Из примера решения подобной задачи для круга.

Возможно, этот пример решения многое прояснит.

[wizar]

Вот, нормальная постановка и ГИУ:
$ \\ \Delta u = 0 \\ (u + (C_a \sigma) \frac {du}{dn})|_{x = 0} = \varphi _a \\ (u + (C_k \sigma) \frac {du}{dn})|_{x = a} = \varphi _k \\ \\ $
Где $ \varphi _a, \varphi _k $ - потенциалы на аноде и катоде, константы, $ C_a, C_k, \sigma $ - тоже константы.
Полученное ГИУ:
$\\ \pi u(p) + \int\limits_{S_q} u(q) K(p, q) = F(p)$ \\, где
$ \[ K(p, q) = \left\{ \begin{array}{l l} \frac {1}{k_1} \ln \frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial n} \ln \frac{1}{r} & \quad \text{, если $p \in S_a$}\\ \frac {1}{k_2} \ln \frac{1}{r} + \frac{\partial}{\partial n} \ln \frac{1}{r} & \quad \text{, если $p \in S_k$}\\ \frac{\partial}{\partial n} \ln \frac{1}{r} & \quad \text{, если $p \in S_i$} \end{array} \right.\] $

Область - прямоугольник. Далее уже решается с помощью метода конечных сумм.

[Munin]

Хорошо бы обозначения расшифровать. Хотя бы, что такое $S_{a,k,i},k_{1,2}.$

[wizar]

Munin в сообщении #830909 писал(а):

Хорошо бы обозначения расшифровать. Хотя бы, что такое $S_{a,k,i},k_{1,2}.$

Да, простите. Слишком долго пробыл в контексте задачи.

$S_{a,k,i}$ - обозначение области анода, катода и изоляторов соответственно.
$ \\ k_{1} = С_a \sigma \\ k_{2} = С_k \sigma $

Ещё по поводу формулы $ds (1 - \log(0.5 ds))$ - забыл упомянуть, что она применяется в реализации формулы Симпсона, как раз для случая совпадения точек $ p, q $

[Munin]

В общем, как я понял, можно пользоваться в точности той же самой $K(p,q),$ что и для задачи в разобранном примере. В частности, если в примере оговорено, как поступать при $p=q$ - делайте так же.

[svv]

Пожалуйста, ответьте ещё на два вопроса.
1) Правильно ли я понимаю, что Вы представляете $\varphi$ в виде потенциала только простого слоя?:
$\varphi(p)=\int\limits_{S_q}\ln\frac 1 r\;u(q)\;dS_q$
Здесь можно считать, что $p$ внутри области.

2) В ядро интегрального уравнения входит $\frac{\partial}{\partial n}\ln\frac 1 r$. Но $r=|p-q|$ зависит от $p$ и $q$. Что понимается под $\frac{\partial}{\partial n}$:
$\bullet$ $\frac{\partial}{\partial n(q)}$, т.е. нормальная производная по переменной $q$, при фиксированной $p$, или
$\bullet$ $\frac{\partial}{\partial n(p)}$, т.е. нормальная производная по переменной $p$, при фиксированной $q$?