Метрика специальной теории относительности

[Munin]

Возьмите свою нижнюю картинку, запишите в ней траекторию частицы, и подставьте в уравнение геодезической. Если найдёте отличия - телеграфируйте.

[RSaulius]

aklimets в сообщении #829721 писал(а):

Как же из безмассового поля образуется вещество с массой покоя и характернейшим его свойством - инертностью? Нетрудно показать на простой модели, что газ фотонов, заключенный в "ящик" с невесомыми стенками, будет обладать инертными и тяжелыми свойствами. При ускорении такого невесомого "ящика" инертность "ящика" возникает вследствие того, что импульсы фотонов, передаваемые передней стенке "ящика" меньше импульса фотонов, передаваемых задней стенке "ящика" и разность передаваемого импульса в целом всему "ящику" будет иметь вид $\Delta P=(E/c^2)\Delta V$, где $\Delta V$ - разность скорости ящика за конечный промежуток времени, и направлена в сторону, противоположную вектору ускорения.

че то у меня не получается инерции таким способом. То , что получит передняя стенка будет передано задней стенке в виде посиневших от взаимодействия с передней стенкой фотонов.

[SergeyGubanov]

Munin в сообщении #830737 писал(а):

:facepalm: Возьмите свою нижнюю картинку, запишите в ней траекторию частицы, и подставьте в уравнение геодезической. Если найдёте отличия - телеграфируйте.

Для тех кто в танке: достаточно массивная частица, которую нельзя считать пробной, по геодезической фонового поля не летит, так как сама вносит в него искажения и результирующее поле становится другое, а у результирующего поля другие геодезические. Но стоит ей чуть-чуть сдвинуться с места, как она опять изменит результирующее гравитационное поле, и геодезические опять станут другими. Это что-то вроде задачи $N$-тел в Ньютоновской теории тяготения. Конфигурация геодезических то и дело меняется по мере того как небесные тела движутся.

[Corund]

Тянет руку из танка - можно спросить? Почему меняются геодезические, проходящие через ЦМ массивной частицы (по сравнению с пробной "безмассовой" частицей) ? (Про остальные-то геодезические понятно).

зы. Вопрос отменяется - не прочитал сразу предыдущую страницу о задаче N-тел, но тогда при чем тут геодезические? ...

[Munin]

SergeyGubanov в сообщении #830784 писал(а):

Для тех кто в танке: достаточно массивная частица, которую нельзя считать пробной, по геодезической фонового поля не летит, так как сама вносит в него искажения и результирующее поле становится другое, а у результирующего поля другие геодезические. Но стоит ей чуть-чуть сдвинуться с места, как она опять изменит результирующее гравитационное поле, и геодезические опять станут другими. Это что-то вроде задачи $N$-тел в Ньютоновской теории тяготения. Конфигурация геодезических то и дело меняется по мере того как небесные тела движутся.

И что весь этот словопоток должен аргументировать? Он у меня не вызывает вообще никаких мыслей, кроме подозрения, что вы рассматриваете геодезические не в пространстве-времени, а в чисто пространстве, то есть вообще ошибочно.

[aklimets]

RSaulius в сообщении #830781 писал(а):

aklimets в сообщении #829721 писал(а):

Как же из безмассового поля образуется вещество с массой покоя и характернейшим его свойством - инертностью? Нетрудно показать на простой модели, что газ фотонов, заключенный в "ящик" с невесомыми стенками, будет обладать инертными и тяжелыми свойствами. При ускорении такого невесомого "ящика" инертность "ящика" возникает вследствие того, что импульсы фотонов, передаваемые передней стенке "ящика" меньше импульса фотонов, передаваемых задней стенке "ящика" и разность передаваемого импульса в целом всему "ящику" будет иметь вид $\Delta P=(E/c^2)\Delta V$, где $\Delta V$ - разность скорости ящика за конечный промежуток времени, и направлена в сторону, противоположную вектору ускорения.

че то у меня не получается инерции таким способом. То , что получит передняя стенка будет передано задней стенке в виде посиневших от взаимодействия с передней стенкой фотонов.

В книге Дэвида Бома "Специальная теория относительности", М., Мир,1967, с.118, на эту тему есть пример со ссылкой на Эйнштейна. Читаем: "Эйнштейн указал простой физический пример. Он рассмотрел для этого покоящийся относительно лаборатории ящик массы $M_B$. Пусть этот ящик заполнен электромагнитным излучением, находящимся в термодинамическом равновесии с его стенками. Обозначим энергию этого излучения через $E_R$. Известно, что электромагнитное излучение оказывает давление на стенки содержащего его ящика, подобно давлению, вызываемому газом. Пока ящик покоится или движется равномерно, полная сила, приложенная к каждой его стенке, уравновешивается силой, приложенной к противоположной стенке. Если же ящик подвергается ускорению $a$, то благодаря этому ускорению отражающееся от задней стенки ящика излучение будет приобретать дополнительный импульс, тогда как излучение, отражающееся от его передней стенки, будет терять часть своего импульса.
Если произвести подробный подсчет происходящего приэтом изменения давления на стенки движущегося ящика, то окажется, что полная сила, дествующая на ящик со стороны излучения, равна

$$F_R=-\frac{E_R\,a}{c^2}$$

Эта сила направлена против ускорения. Поэтому уравнение движения всей системы будет иметь вид

$$M_B\,a=-\frac{E_R\,a}{c^2}+F$$

где $F$ - внешняя сила. Это уравнение можно переписать

$$\left (M_B+\frac{E_R}{c^2}\right )a=F$$

Поэтому наличие энергии излучения $E_R$ соответствует появлению добавочной "эффективной массы" $E_R/c^2$ в том смысле, что эта масса приводит к такому же возрастанию инертности тела (его сопротивлению ускорению), как и обычная масса, что и представляет собой одно из характерных проявлений того физического свойства, которое называют массой."
А теперь условно примите стенки ящика невесомыми ($M_B=0$). Вы придете к моему примеру. Стенки ящика можно заменить взаимодействием фотонов между собой.
В собрании трудов Эйнштейна я этот пример не обнаружил (может плохо искал), но доверяю Дэвиду Бому в его ссылке на Эйнштейна. Значит так оно и было. Поищите. Могу привести и свой примерный расчет.

[manul91]

Munin в сообщении #830802 писал(а):

И что весь этот словопоток должен аргументировать? Он у меня не вызывает вообще никаких мыслей, кроме подозрения, что вы рассматриваете геодезические не в пространстве-времени, а в чисто пространстве, то есть вообще ошибочно.

Когда частиц/тел несколько, и у них массы соизмеримы (так что поле нельзя рассматривать как фоновое ни для одной из них) - то в самосогласованном решении, 4d траектории и поле в 4d должны быть такими, чтобы было экстремально совокупное действие системы всех частиц вместе с полем , в целом.
В получившемся самосогласованном 4d решении для поля и частиц - ни одна из частиц не обязана двигаться в получившемся 4d полем так, чтобы ее действие поотдельности было экстремальным (т.е. по геодезической).
Точнее, небходимость этого вроде ниоткуда не следует (хотя и возможно в частных случаев симметрии и пр., движение для некоих из частиц в отдельности и на самом деле будет по геодезической результантного поля).

[VladTK]

Munin в сообщении #830709 писал(а):

бред какой-то. В ковариантной записи высшие ковариантные производные - откуда появятся?...

Плевать на излучение и остальную диссипацию, как они могут частицу с геодезической сместить куда-то в сторону?

От запаздывания. Вы вообще не смотрели статью, на которую я давал ссылку? В первом порядке по учету самодействия (т.е по массе частицы) высших производных не возникает. Зато возникает сила самодействия, сдвигающая частицу с геодезической. В статье выводятся уравнения движения точечной массы в этом порядке (19.84) - уравнения Y. Mino, M. Sasaki, T. Tanaka, T.C.Quinn and R.Wald (MiSaTaQuWa equations). В более высоких порядках по самодействию возникают высшие производные.

SergeyGubanov в сообщении #830733 писал(а):

VladTK в сообщении #830686 писал(а):

Попробуйте прямую ссылку на pdf http://rd.springer.com/content/pdf/10.1007%2FBF00890833.pdf

Не даёт. Просит деньги. Ладно, разберусь как нибудь.

Прочитайте "Look inside" или давайте мыло - скину статью.

SergeyGubanov в сообщении #830733 писал(а):

...Со сверхмощным электромагнитным волновым пакетом примерно то же самое будет - он не будет распространяться по изотропной геодезической старого внешнего поля, так как он сам поле меняет - в его присутствии новое поле - другое.

Не, со сверхмощным электромагнитным волновым пакетом происходит другое. У него скалярная кривизна нулевая, какую бы энергию он не нес. Поэтому он остается на изотропной геодезической результирующей метрики.

manul91 в сообщении #830830 писал(а):

Когда частиц/тел несколько, и у них массы соизмеримы (так что поле нельзя рассматривать как фоновое ни для одной из них) - то в самосогласованном решении, 4d траектории и поле в 4d должны быть такими, чтобы было экстремально совокупное действие системы всех частиц вместе с полем , в целом.
В получившемся самосогласованном 4d решении для поля и частиц - ни одна из частиц не обязана двигаться в получившемся 4d полем так, чтобы ее действие поотдельности было экстремальным (т.е. по геодезической).
Точнее, небходимость этого вроде ниоткуда не следует (хотя и возможно в частных случаев симметрии и пр., движение для некоих из частиц в отдельности и на самом деле будет по геодезической результантного поля).

Именно! А электромагнитный волновой пакет как раз и является таким частным случаем.

[manul91]

VladTK в сообщении #830863 писал(а):

Именно! А электромагнитный волновой пакет как раз и является таким частным случаем.

Я-то понимаю о чем вы говорите.
По меньшей мере, в приближением геометрической оптики -это вроде и так ясно - геометрически лучи света в вакууме обязаны двигаться по изотропных геодезических общего самосогласованного решения, и не могут с ними "съехать" - вне зависимости от того как они сами (как и остальные массивные тела) не гнули бы ПВ, из-за своего большого ЭИ.
Противное, означало бы изменения характера движения геометрических лучей (от изотропного к времениподобного или пространственноподобного) что вроде не бывает вне зависимости от мощности и/или самодействия.
Из-за этого, большая энергия луча - вносит только эффекты типа рассеивания/самофокусировки пакета (и так же разумеется, вносит вклад в изменением самосогласованного решения для остальных массивных частиц и полем - по сравнению с тем, если высокоенергетического луча/лучей и не было бы или они были слабыми; - в последнем случае, для самосогласованном решении системы поля и массивных частиц было бы все равно, был ли свет или нет).

С гипотетическим учетом КМ однако, не совсем понятно так ли останется это (и в каком смысле и почему); ведь например интегралы Фейнмана для массивных частиц ведутся по всех траекторий в 4d (вкл вне светового конуса; хотя там быстро затухают).

[Munin]

VladTK в сообщении #830863 писал(а):

Вы вообще не смотрели статью, на которую я давал ссылку?

Да, потому что вы меня не убедили, что там вообще что-то стоящее внимания. Теперь убедили.

[VladTK]

manul91 в сообщении #830907 писал(а):

...С гипотетическим учетом КМ однако, не совсем понятно так ли останется это (и в каком смысле и почему); ведь например интегралы Фейнмана для массивных частиц ведутся по всех траекторий в 4d (вкл вне светового конуса; хотя там быстро затухают).

Ага. Не исключено, что квантовые поправки как-то компенсируются и неизотропности распространения луча не возникает и в квантовой области. Но доказать это или опровергнуть в настоящее время невозможно.

Можно было бы конечно зная множество классических решений, построить производящий функционал методом перевала. Насколько мне известно именно так и поступал тот же Хокинг в 60-70. Там еще выяснилось, что ненулевой вклад дают в интеграл и граничные условия на метрику. Вообщем задача адова и мне не известно продвинулся ли кто-нить в этом направлении.

Кстати, в связи с обсуждением разницы распространения луча света и массивной частицы у меня возник такой вопрос к автору темы aklimets. Ваш вывод начинается с метрики Шварцшильда. Данная метрика на мировой линии частицы имеет сингулярность, в то время как на мировой линии луча света никакой сингулярности нет. Т.е. метрика Шварцшильда неверно аппроксимирует ситуацию в данном случае. Что Вы думаете по этому поводу?

[aklimets]

VladTK в сообщении #830965 писал(а):

Кстати, в связи с обсуждением разницы распространения луча света и массивной частицы у меня возник такой вопрос к автору темы aklimets. Ваш вывод начинается с метрики Шварцшильда. Данная метрика на мировой линии частицы имеет сингулярность, в то время как на мировой линии луча света никакой сингулярности нет. Т.е. метрика Шварцшильда неверно аппроксимирует ситуацию в данном случае. Что Вы думаете по этому поводу?

Сингулярности нет, потому что не учитывается гравитационное самодействие фотона на самого себя. Я считаю, что метрика Шварцшильда правильно описывает эту ситуацию.

[aklimets]

RSaulius в сообщении #830781 писал(а):

aklimets в сообщении #829721 писал(а):

Как же из безмассового поля образуется вещество с массой покоя и характернейшим его свойством - инертностью? Нетрудно показать на простой модели, что газ фотонов, заключенный в "ящик" с невесомыми стенками, будет обладать инертными и тяжелыми свойствами. При ускорении такого невесомого "ящика" инертность "ящика" возникает вследствие того, что импульсы фотонов, передаваемые передней стенке "ящика" меньше импульса фотонов, передаваемых задней стенке "ящика" и разность передаваемого импульса в целом всему "ящику" будет иметь вид $\Delta P=(E/c^2)\Delta V$, где $\Delta V$ - разность скорости ящика за конечный промежуток времени, и направлена в сторону, противоположную вектору ускорения.

че то у меня не получается инерции таким способом. То , что получит передняя стенка будет передано задней стенке в виде посиневших от взаимодействия с передней стенкой фотонов.

Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть в системе отсчета $K'$ расположен невесомый цилиндр высотой $h$ (см. рис.)

Обозначим верхнюю крышку цилиндра через $S_2$, нижнюю через $S_1$. Крышки $S_1$ и $S_2$ зеркальные. Пусть эта система отсчета вместе с жестко закрепленным к ней невесомым цилиндром движется равномерно ускоренно в направлении положительных значений $z$ с ускорением $\gamma$.
Пусть из $S_2$ в $S_1$ испущен квант света - фотон с энергией $E_0$ и мы рассматриваем этот процесс в некоторой системе отсчета $K^0$ которая не обладает ускорением. Положим, что в тот момент, когда энергия излучения $E_0$ переносится из $S_2$ в $S_1$, система $K'$ обладает относительно системы $K^0$ скоростью, равной нулю. Световой квант достигнет $S_1$ спустя время $h/c$ (в первом приближении), где $c$ - скорость света. В этот момент $S_1$ обладает скоростью $\gamma h/c=v$. Поэтому достигающее $S_1$ излучение имеет не энергию $E_0$, а большую энергию $E_1$, которая связана с $E_0$ соотношением

$$E_1=E_0\left (1+\frac{\Delta v}{c}\right )=E_0\left(1+\frac{\gamma h}{c^2}\right)\,\,\,\,\,(1)$$

где $\Delta v=v-0$.
Импульс, передаваемый излучением стенке $S_1$, найдем из соотношения

$$P_1=\frac{E_1}{c}=\frac{E_0}{c}\left(1+\frac{\gamma h}{c^2}\right)\,\,\,\,\,(2)$$

Далее. Пусть световой квант с такой же энергией $E_0$ излучается из $S_1$ в сторону $S_2$. Тогда излучение, достигающее стенки $S_1$ будет иметь меньшую энергию, а именно

$$E_2=E_0\left (1-\frac{\Delta v}{c}\right )=E_0\left(1-\frac{\gamma h}{c^2}\right)\,\,\,\,\,(3)$$

Импульс, переданный стенке $S_2$ равен

$$P_2=\frac{E_2}{c}=\frac{E_0}{c}\left(1-\frac{\gamma h}{c^2}\right)\,\,\,\,\,(4)$$

Очевидно, что если мы одновременно излучим два кванта света одинаковой энергии первый в сторону $S_1$ и второй в сторону $S_2$, то импульсы отдачи (покажем ниже) взаимно скомпенсируются и основную роль будут играть импульсы $(2)$ и $(4)$. Тогда имеем

$$\Delta P=P_1-P_2=\frac{2E_0}{c}\frac{\gamma h}{c^2}$$

Так как $\gamma h/c=\Delta v$, то

$$\Delta P=\frac{2E_0}{c^2}\Delta v$$

где $E_0/c^2$ - так называемая "инертная" масса $m$.
Таким образом, невесомый цилиндр, в котором находится излучение, в результате ускорения приобретает инертную массу $m$, причем импульс этой инертной массы, как видно из рис., направлен в сторону, противоположную вектору ускорения $\gamma$.
Как ведут себя импульсы отдачи? Пусть фотоны из $S_1$ и $S_2$ испущены в момент, когда система $K'$ имеет относительно системы $K^0$ скорость равную нулю. В этот момент импульсы отдачи фотонов равны $P_1=P_2=P$. В дальнейшем они независимы (не зависят от ускорения цилиндра $\gamma$) и точно компенсируют друг друга.
Аналогичным образом в таком невесомом цилиндре появляется и так называемая "тяжелая" масса. Для этого нужно рассматривать не ускоренный цилиндр, а цилиндр, расположенный на подставке в слабом гравитационном поле. Пусть в $S_1$ потенциал поля равен нулю, а на высоте $h$ он равен $\Phi$. Учитывая принцип эквивалентности можно записать $\gamma h=\Phi$. Тогда, рассматривая излучение фотонов от нижней и верхней стенки, получим разность импульсов $\Delta P=\frac{2E_0}{c^2}\frac{\Delta\Phi}{c}$ и она направлена в сторону уменьшения гравитационного потенциала. Таким образом, сила, действующая на подставку, будет иметь вид

$$F_z=\frac{\Delta P}{\Delta t}=-2m\frac{\Delta\Phi}{c\Delta t}=-2m\frac{\Delta\Phi}{\Delta z}$$

что следует и из теории тяготения Нютона.
Видно, что свободное движение цилиндра (движение по геодезической) связано с постоянным перераспределением импульсов квантов по отношению к стенкам $S_1$ и $S_2$ в гравитационном поле. Под действием разности импульсов $\Delta P$ цилиндр постоянно смещается в сторону большей разности потенциалов и, таким образом, ускоряется.

[SergeyGubanov]

manul91 в сообщении #830830 писал(а):

Когда частиц/тел несколько, и у них массы соизмеримы (так что поле нельзя рассматривать как фоновое ни для одной из них) - то в самосогласованном решении, 4d траектории и поле в 4d должны быть такими, чтобы было экстремально совокупное действие системы всех частиц вместе с полем , в целом.
В получившемся самосогласованном 4d решении для поля и частиц - ни одна из частиц не обязана двигаться в получившемся 4d полем так, чтобы ее действие поотдельности было экстремальным (т.е. по геодезической).

$+1$

VladTK в сообщении #830863 писал(а):

Поэтому он остается на изотропной геодезической результирующей метрики.

Вот именно что результирующей метрики. Я именно об этом тут вот уже несколько раз написал разными словами. По изотропным геодезическим исходной метрики распространяются только "пробные" электромагнитные пакеты. А по мере увеличения энергии-импульса электромагнитные пакеты, вообще говоря, будут распространяться по другим изотропным геодезическим - результирующей метрики. Поэтому время распространения электромагнитного пакета между пунктом А и пунктом Б может зависеть от его энергии-импульса.

[manul91]

SergeyGubanov в сообщении #831019 писал(а):

Вот именно что результирующей метрики. Я именно об этом тут вот уже несколько раз написал разными словами. По изотропным геодезическим исходной метрики распространяются только "пробные" электромагнитные пакеты. А по мере увеличения энергии-импульса электромагнитные пакеты, вообще говоря, будут распространяться по другим изотропным геодезическим - результирующей метрики. Поэтому время распространения электромагнитного пакета между пунктом А и пунктом Б может зависеть от его энергии-импульса.

Тут вроде бы сравниваются разные вещи.

У вас сравнивается ситуация типа "если бы да кабы" - разные решения при разных исходных условий - с запущенным мощным импульсом и с запущенным пробным; и из-за мощности импульса результирующие согласованные многообразия ПВ вообще будут разными.
Однако, так как это вообще метрически "разные миры", при такой постановке не совсем ясно в чем однозначный смысл сравнения "времени распространения электромагнитного пакета между пунктом А и пунктом Б" (даже если "пункты" А и Б допустим связаны с одних и тех же тел в исходном условии - но ведь если в одном из миров импульс пройдет через тела Б, нет гарантий что в другом он также пройдет через тела Б - и вообще какие синхронизации брать в разных мирах, и в каком смысле они будут "сравнимыми" если у этих миров сами многообразия ПВ разные).

У VladTK по-другому - примерно если запустить два импульса вместе, в одном и том ще направлении из одной и той же (малой) исходной 4d окрестности - один мощный и другой слабый, то они придут к одной и той же 4d окрестности "пункта назначения" примерно одновременно.
Т.е. время прихода импульсов сравнивается в едином общем решении ("мире"), где эта операция типа имеет четкий смысл.
4d окрестность "пункта приема" может быть разной - но это всегда можно нейтрализовать достаточным уменьшением исходной 4d окрестности.
В пределе уменьшения исходной 4d окрестности, импульсы сольются в "один импульс" - так что факт о котором говорит VladTK, со своей стороны несколько тавтологичен.