Студенческая олимпиада киевского мехмата 2014

[dm]

Задания для младших и старших курсов:
http://putnam.ho.ua/mechmat/2014/problems.html
Прямые ссылки:
http://putnam.ho.ua/mechmat/2014/mm14sm.pdf
http://putnam.ho.ua/mechmat/2014/mm14ol.pdf
На украинском. На русский или английский пока не перевел.

[Keter]

1-2 курсы, 1
Доказать, что $\cos x < e^{-x^2 / 2}$ при всех $0 < x \le \pi.$

Для $x \in [\pi /2, \pi]$ выполняется. Для $x \in (0, \pi /2)$ докажем $\ln \cos x < -x^2 /2, \quad \ln \dfrac{1}{\cos^2 x} > x^2.$
Рассмотрим $f(x)=\ln \dfrac{1}{\cos^2 x}-x^2.$
$f'(x)=2(\tg x-x), \forall x \in (0, \pi /2) \quad \tg x>x,$ так как касательная к $\tg x$ в точке $x=0$ это прямая $y=x.$ Тогда $\forall x \in (0, \pi /2) \quad f'(x)>0.$
Остаётся заметить, что $f(0)=0,$ значит $\forall x \in (0, \pi /2) \quad f(x)>0.$

[dm]

Артюшин Денис (г.Таганрог) перевел:

Открытая студенческая олимпиада
механико-математического факультета
24 февраля 2014 года
Задания для 1-2 курсов

Задача 1
Докажите, что $\cos x<e^{-x^2/2}$ при всех $0<x\le\pi$.

Задача 2
Разрешается заменить многочлен $p(x)$ на один из многочленов $p(p(x))$, $xp(x)$ или $p(x)+x-1$. Можно ли за несколько ходов из многочлена $x^k(x-2)^{2n}$ получить многочлен $x^l(x-2)^{2m+1}$, где $k, l, m, n$ — натуральные числа?

Задача 3
Пусть $M_A$, $M_B$, $M_C$ и $M_D$ — точки пересечения медиан граней $BCD$, $ACD$, $ABD$ и $ABC$ тетраэдра $ABCD$. На грани $BCD$ отметили точки $A_1$ и $A_2$ симметрично относительно $M_A$, а на грани $ACD$ — $B_1$ и $B_2$ симметрично относительно $M_B$. Докажите, что $V_{A_1B_1M_CM_D}=V_{A_2B_2M_CM_D}$.

Задача 4
Существует ли многочлен с действительными коэффициентами такой, что он не имеет действительных корней, а после вычеркивания из него произвольного одночлена, получается многочлен, который имеет действительный корень?

Задача 5
Пусть $x_1, x_2 \in (0, 1)$ и $(x_1, x_2) \not = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Докажите неравенство

$$\sqrt{x_1(1-x_2)}+\sqrt{x_2(1-x_1)} \ge \sqrt{\frac{|x_1-x_2|}{\max(|2x_1-1|, |2x_2-1|)}}.$$

Когда достигается знак равенства?

Задача 6
Пусть $P$ — квадратная матрица, отличная от нулевой и единичной, удовлетворяющая условию $P^2=P$. Всегда ли существует квадратная матрица $Q$ такая, что $Q^2=Q$, $PQ=QPQ$, но $QP \not = PQ$?

Задача 7
Пусть $f, g \in C([0, 1])$, причем функция $f$ достигает своего максимума ровно один раз, а точнее в точке $x_0 \in [0 ,1]$. Докажите, что функция $\phi(t)=\max\limits_{x \in [0, 1]}(f(x)+t \cdot g(x))$ имеет производную в точке $0$ и $\phi'(0)=g(x_0)$.

-- Вт фев 25, 2014 21:40:52 --

Открытая студенческая олимпиада
механико-математического факультета
24 февраля 2014 года
Задания для 3-5 курсов

Задача 1
Найдите $\int_0^{\pi}(\sin x)^{\cos x}\mathrm{d}x$.

Задача 2
Пусть действительные многочлены $P_n$ степени $2014$ и действительный многочлен $P$ такие, что

$$\int_0^{2014}\lvert P_n(x)-P(x)\rvert^{2014}\mathrm{d}x\to0,\quad n\to\infty.$$

Обязательно ли

$$\int_0^{2014}\lvert P'_n(x)-P'(x)\rvert^{2014}\mathrm{d}x\to0,\quad n\to\infty\,?$$

Задача 3
Пусть $f_n:[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R},$ $n\ge1,$ — борелевы функции, $\lambda_1$ и $\lambda_2$ — меры Лебега на $\mathbb{R}$ и $\mathbb{R}^2$ соответственно. Известно, что $f_n\bigl(x,g_n(x)\bigr)\stackrel{\lambda_1}{\longrightarrow}0,\ n\to\infty$ для любой последовательности борелевых функций $g_n:[0,1]\to[0,1].$ Докажите, что $f_n(x,y)\stackrel{\lambda_2}{\longrightarrow}0,\ n\to\infty.$

Задача 4
Существует ли многочлен с действительными коэффициентами такой, что он не имеет действительных корней, а после вычеркивания из него произвольного одночлена, получается многочлен, который имеет действительный корень?

Задача 5
Пусть $x_1, x_2 \in (0, 1)$ и $(x_1, x_2) \not = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. Докажите неравенство

$$\sqrt{x_1(1-x_2)}+\sqrt{x_2(1-x_1)} \ge \sqrt{\frac{|x_1-x_2|}{\max(|2x_1-1|, |2x_2-1|)}}.$$

Когда достигается знак равенства?

Задача 6
Существует ли последовательность независимых случайных величин $\{\varepsilon_k,\, k\ge3\},$ где $\mathsf{M}\varepsilon_k=0,$ $\mathsf{D}\varepsilon_k=1,$ $k\ge3,$ и последовательность случайных величин $\{x_k,\, k\ge1\},$ где

$$x_k=x_{k-1}-x_{k-2}+x_{k-3}+\varepsilon_k+\tfrac{1}{2}\varepsilon_{k-1},\quad k\ge4,$$

для которых последовательность $\{\mathsf{M}x_k^2,\, k\ge1\}$ ограничена?

Задача 7
Пусть $P$ — квадратная матрица, отличная от нулевой и единичной, удовлетворяющая условию $P^2=P$. Всегда ли существует квадратная матрица $Q$ такая, что $Q^2=Q$, $PQ=QPQ$, но $QP \not = PQP$?

[Keter]

Не пойму, что делать с $\int\limits_0^{\pi} (\sin x)^{\cos x}\, dx.$
В точке $\pi$ неустранимый разрыв, но интеграл сходится. Замена $\int\limits_{-1}^1 (1-t^2)^{\frac{t-1}{2}}\, dt.$ ничего не приносит.

[Руст]

Keter в сообщении #830776 писал(а):

но интеграл сходится.

ошибаетесь.

[Alexander Evnin]

1-2. Нет. Инвариант $p(1)=1$.

[SpBTimes]

dm в сообщении #830619 писал(а):

Задача 4
Существует ли многочлен с действительными коэффициентами такой, что он не имеет действительных корней, а после вычеркивания из него произвольного одночлена, получается многочлен, который имеет действительный корень?

Я, наверное, плохо понимаю условие. Но $x^2 + 1$ не имеет действительных корней, а $x^2$ имеет корень 0. Или $1$ - не одночлен?

[mihailm]

а $x^2$ кто вычеркивать будет?

[Keter]

Руст в сообщении #830785 писал(а):

Keter в сообщении #830776 писал(а):

но интеграл сходится.

ошибаетесь.

Не знаю.

Подинтегральная функция расходится в $\pi$, а как доказать, что интеграл расходится в $\pi$?
Интересно, что можно сколь угодно приближаться к $\pi$ слева и справа, но значение интеграла, вычисленное в вольфраме, не меняется.

И, как я понимаю, из того, что $f(\delta)=\int\limits_0^{\pi-\delta} (\sin x)^{\cos x}\, dx \rightarrow \infty, \delta \rightarrow 0+,$ не следует, что интеграл расходится.
Например, функция $x^{-2/3}$ имеет разрыв в нуле, но имеет "площадь" на интервале $[-1, 1].$

Нашел кое-что: теорема.

-- 27 фев 2014, 02:07 --

Можно так показать?

$\int\limits_0^{\pi} (\sin x)^{\cos x}\, dx=\lim_{a\to{\pi-0}} f(a)$, где $f(a)=\int\limits_0^{a} (\sin x)^{\cos x}\, dx$.

Теперь $f(a)=\int\limits_{-1+\delta}^{1} (1-t^2)^{\frac{t-1}{2}}\, dt=\int\limits_{-1+\delta}^{1} (1-t)^{\frac{t-1}{2}} (1+t)^{\frac{t-1}{2}}\, dt=$
$=\int\limits_{-1+\delta}^{1}(1-t)^{\frac{t-1}{2}} (1+t)^{\frac{t+1}{2}} (1+t)^{-1}\, dt=\int\limits_{-1+\delta}^{1}F_1(t) F_2(t) F_3(t)\,dt.$

Легко показать, что $F_i>0, 1\le i \le 3,$ в интервале $[-1, 1]$ и при этом $F_1$ и $F_2$ ограничены в нём снизу некоторыми положительными числами $C_1$ и $C_2.$

Значит, $f(a)\geq \int\limits_{-1+\delta}^{1}C_1 C_2 F_3(t)\,dt=C_1 C_2 \int\limits_{-1+\delta}^{1}F_3(t)\,dt=C_1 C_2 \int\limits_{-1+\delta}^{1}(1+t)^{-1}\,dt$.

Следовательно, $f(a)$ принимает сколь угодно большие значения по мере того как $\delta$ стремится к $0+.$

[g______d]

По-моему так тоже расходится. Во-первых, заменой $x$ на $\pi-x$ можно свести все к поведению в нуле, это немного проще технически. Т. е. получим интеграл $\int\limits_0^{\pi}\frac{1}{\sin(x)^{\cos x}}\,dx$. В окрестности нуля можно заменить $\sin x$ на $\frac{2}{\pi} x$ (и потом забить на константу), а $\cos x$ на $1-\frac{x^2}{2}$, если этот будет расходиться, то и исходный тоже. Т. е. получим

$$ \int\limits_0 \frac{1}{x^{1-\frac{x^2}{2}}}\,dx=\int\limits_0 \frac{\exp\{{\frac{x^2}{2}\ln x}\}}{x}\,dx. $$

Далее применяем формулу Тейлора к экспоненте с малым параметром $\frac{x^2}{2}\ln x$, получаем в главном порядке интеграл от $\frac{1}{x}$, а в остатке сходящийся интеграл.

[nnosipov]

g______d в сообщении #830963 писал(а):

По-моему так тоже расходится.

Присоединяюсь. Странная задача. Может, опечатка в условии?

[SpBTimes]

mihailm
А-а-а, то есть какой бы ни вычеркнуть. Понял

[Keter]

nnosipov, однозначно расходится в $\pi$.
Он там имеет асимптотику, как \int\limits_{+\delta}^a x^{x-1}\, dx, что, насколько я понимаю, эквивалентно \int\limits_{+\delta}^a x^{-1}\, dx. Ведь так?

Не ясно, почему вольфрам даёт ложный результат?

[nnosipov]

Keter в сообщении #831120 писал(а):

nnosipov, однозначно расходится в $\pi$.
Он там имеет асимптотику, как \int\limits_{+\delta}^a x^{x-1}\, dx, что, насколько я понимаю, эквивалентно \int\limits_{+\delta}^a x^{-1}\, dx. Ведь так?

Да.

[Edward_Tur]

4. Да. Например $P(x)=x^4+6x^3+x^2-24x+17=(x^2+3x-4)^2+1$.