Сумма нестандартной функции

[frankenstein]

Здравствуйте!
Задача звучит так. Дана словесно определенная функция
$f(x)$ равная количеству единиц в двоичном
представлении аргумента.
Требуется определить значение этой суммы:
$\sum _{n=1} ^ \infty \frac {f(n)} {n(n+1)}$.
Не знаю даже как подобраться к задаче.

[maxal]

Если переписать в виде суммы по разрядам, то получится:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} \sum_{n=i\cdot 2^{k+1} + 2^k}^{(i+1)\cdot 2^{k+1} - 1} \frac{1}{n(n+1)}.$$

Телескопически сворачивая последнюю сумму, получаем:

$$\sum_{k=0}^{\infty} \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{1}{i\cdot 2^{k+1} + 2^k} - \frac{1}{(i+1)\cdot 2^{k+1}} \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^k} \sum_{i=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2i+1} - \frac{1}{2i+2} \right) = 2\cdot \ln 2.$$

[Vova_Gidro]

frankenstein в сообщении #830406 писал(а):

Дана словесно определенная функция
$f(x)$ равная количеству единиц в двоичном
представлении аргумента.

Для натуральных можно и не словесно определить:
$f(1)=1, f(2n)=f(n), f(2n+1)=f(n)+1$

[frankenstein]

Vova_Gidro в сообщении #830528 писал(а):

frankenstein в сообщении #830406 писал(а):

Дана словесно определенная функция
$f(x)$ равная количеству единиц в двоичном
представлении аргумента.

Для натуральных можно и не словесно определить:
$f(1)=1, f(2n)=f(n), f(2n+1)=f(n)+1$

Но разве эта функция поможет при отыскании суммы?

[Vova_Gidro]

frankenstein в сообщении #830536 писал(а):

Но разве эта функция поможет при отыскании суммы?

Может и помочь. Но способ, предложенный maxal красивее. Мы с коллегой строили наше решение на том определении, которое я Вам привел.

Vova_Gidro в сообщении #830528 писал(а):

$f(1)=1, f(2n)=f(n), f(2n+1)=f(n)+1$

Но получилось как-то коряво. Хотя ответ получили такой же.

[maxal]

Вот ещё интересная сумма, включающая $(-1)^{f(n)}$: topic5348.html