Помогите найти Жорданов матриц

[SlayZar]

Требуется найти базис $f_1, ... , f_n$, в котором матрица некоторого преобразования имеет жорданову форму
$A_J$ , и найти эту жорданову форму.
Матрица $A$

$$\begin{pmatrix} 3& 2& -3\\ 4& 10& -12\\ 3& 6& -7&\\ \end{pmatrix}$$

.
Чтобы найти жорданову матрицу находим собственные числа, которые будут равны таким $\lambda$, при котором определитель следующей матрицы равен нулю.

$$\begin{pmatrix} 3-l& 2& -3\\ 4& 10-l& -12\\ 3& 6& -7-l&\\ \end{pmatrix}$$

В данном случае получаем $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=2$
Значит матрица в жордановом матрице имеет вид:

$$\begin{pmatrix} 2& *& *\\ 0& 2& *\\ 0& 0& 2&\\ \end{pmatrix}$$

Помогите, пожалуйста, никак не могу понять как искать элементы Жордановой матрицы, которые будут стоять над диагональю! Интересует не столько этот пример, для меня главное понять алгоритм. Искал на разных сайтах, но объяснения очень непонятные.

И насчет базисов, я правильно понимаю, что чтобы найти Жорданов базис надо вместо $\lambda$ подставить в нашем случае 2 и, преобразовывая матрицу найти ее ранг и из этих векторов выписать базис?

[SpBTimes]

У вас базис из собственных векторов не получится, придется достраивать присоединенные.

[svv]

Давайте сначала разберемся с жордановой формой.

Какие-то начальные действия Вам же известны? Для каждого собственного значения надо составить матрицу $B=A-\lambda E$ и потом последовательно найти ранги её степеней:
$r_0=n$ (размер матрицы) — по определению,
$r_1=\operatorname{rang} B$,
$r_2=\operatorname{rang} B^2$,
и так далее. Эти числа строго уменьшаются (каждое меньше предыдущего), пока не достигнут $n-k$, где $k$ — алгебраическая кратность значения $\lambda$. И дальше они не уменьшаются.

Попробуйте, исходя из этой информации, найти $r_0, r_1, r_2,..., r_{k+1}$, не выполняя при этом лишнюю работу. То есть не находите следующую степень $B$, если и так ясно, чему будет равен её ранг. Напишите, что получилось.

[SlayZar]

$B=A-\lambda E=$

$$\begin{pmatrix} 1& 2& -3\\ 4& 8& -12\\ 3& 6& -9&\\ \end{pmatrix}$$

Элементарными преобразованиями преобразовывая эту матрицу, получаем матрицу

$$\begin{pmatrix} 1& 2& -3\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0&\\ \end{pmatrix}$$

Значит, $r_0=3$, $r_1=1$ и так как $r_\((n+1)\\$$<r_n$ то $r_2=0$
А как теперь зная эти значения найти элементы над диагональю в Жордановой матрице?

[SpBTimes]

значит сколько собственных векторов отвечает данному собственному значению?

[SlayZar]

Получается один вектор.

$$\begin{pmatrix} 1& 2& -3\\ \end{pmatrix}$$

Теперь возможно надо выразить свободными $C_2$ и $C_3$ и тогда получим

$$\begin{pmatrix} 3C_2-C_3\\ C_2\\ C_3\\ \end{pmatrix}$$

И базисными будут вектора?

$$\begin{pmatrix} 3& 1& 0\\ \end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix} -1& 0& 1\\ \end{pmatrix}$$

И все таки что будет являться оставшимися элементами Жордановой матрицы?

[svv]

Не желая мешать, расскажу только про жордановы клетки.

Да, правильно. Выпишем $r_i$ вплоть до $r_{k+1}$ (я так просил):
$r_0=3\quad r_1=1\quad r_2=0\quad r_3=0\quad r_4=0$

Найдите $m_i=r_{i-1}+r_{i+1}-2r_i$ для $i=1..k$. Тогда

$m_1$ покажет, сколько таких клеток $\begin{bmatrix}\lambda\end{bmatrix}$
$m_2$ покажет, сколько таких клеток $\begin {bmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{bmatrix}$
$m_3$ покажет, сколько таких клеток $\begin{bmatrix}\lambda&1&0\\0&\lambda&1\\0&0&\lambda\end{bmatrix}$
И так далее. Вот и всё.

[SlayZar]

Значит $m_1=1$
$m_2=1$
$m_3=m_4=...=m_n$0
и матрица в Жордановой форме будет выглядить так?!

$$\begin{pmatrix} 2& 1& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2&\\ \end{pmatrix}$$

А что все таки с базисом делать?
______________________________
И еще один вопрос: правильно ли, что матрица в Жордановой форме всегда имеет вид (например матрица 4 порядка)

$$\begin{pmatrix} \lambda_1& a& 0& 0\\ 0& \lambda_2& b& 0\\ 0& 0& \lambda_3& c\\ 0& 0& 0& \lambda_4&\\ \end{pmatrix}$$

где $\lambda$ это собственные числа, а $a,b,c$ - числа 1 или 0, как определять мы уже научились.

[svv]

Да, правильно, жорданова матрица будет выглядеть так, как Вы написали.
При этом такой вид тоже не будет ошибкой: $\begin{pmatrix}2& 0& 0\\0& 2& 1\\0& 0& 2\end{pmatrix}$
Т.е. клеточки можно переставить.

По поводу общего вида — тоже правильно. В том смысле, что любая жорданова матрица имеет такой вид. Однако не любая матрица, имеющая такой вид, будет жордановой. Скажем, если $\lambda_1\neq\lambda_2$, то число $a$ может быть только нулем, иначе это не жорданова форма. Т.е. под единицей и слева от нее может стоять только одно и то же собственное значение.

Можно Вас попросить для закрепления материала написать, как бы выглядела жорданова форма при том же собственном значении $2$ алгебраической кратности $3$, если бы ранги уменьшались по-другому?:
a) $r_0=3\quad r_1=2\quad r_2=1\quad r_3=0\quad r_4=0$
b) $r_0=3\quad r_1=2\quad r_2=0\quad r_3=0\quad r_4=0$

SlayZar в сообщении #830639 писал(а):

А что все таки с базисом делать?

Прошу ответить на этот вопрос SpBTimes.

[SlayZar]

а) $m_1=0; m_2=0; m_3=1;$
Жорданова матрица выглядела бы по всей видимости так?!
$\begin{pmatrix}2& 1& 0\\0& 2& 1\\0& 0& 2\end{pmatrix}$

б) $m_1=-1; m_2=2; m_3=0;$
Не совсем уверен, но кажется, что Жорданова форма будет аналогична пункту а

[svv]

a) правильно, в b) ошибся я.
b) $r_0=3\quad r_1=0\quad r_2=0\quad r_3=0\quad r_4=0$
$m_1=3\quad m_2=m_3=0$
$\begin{pmatrix} 2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{pmatrix}$
Единиц здесь нет совсем.

[SlayZar]

Тогда $m_1=3$ а остальные нули и матрица как в пункте а или все таки такая матрица будет $\begin{pmatrix} 2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{pmatrix}$ ведь $m_1$ это только сама лямбда...

[svv]

Да. $\begin{pmatrix} 2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{pmatrix}$
Это диагональная матрица. Частный случай жордановой. Здесь для собственного значения $2$ жордановых клеток порядка $1$ имеется $3$ штуки, что и выражается формулой $m_1=3$.

Хорошая книжка:
Кряквин В.Д. Линейная алгебра. Пособие к решению задач и большая коллекция вариантов заданий.
Там всё так подробно объясняется.

[SlayZar]

Спасибо, обязательно почитаю!

[SpBTimes]

SlayZar в сообщении #830639 писал(а):

А что все таки с базисом делать?

Если не хватает собственных векторов, то нужно строить цепочку из присоединенных. Вы знаете, что это?