Олимпиадная задача по геоме

[nnosipov]

Red_Herring в сообщении #830236 писал(а):

А с экспортом в pgf/tikz мы получаем приемлемый TeX файл.

Я как-то не обратил внимание на это. Надо будет попробовать.

[_Ivana]

nnosipov, про Геогебру понятно (хотя выгрузка в pgf/tikz для меня тоже приятная неожиданность), вы лучше скажите, ваша программа механистических доказательств совладала с этой задачкой или вы не пробовали?

[nnosipov]

_Ivana в сообщении #830303 писал(а):

вы лучше скажите, ваша программа механистических доказательств совладала с этой задачкой или вы не пробовали?

Я не пробовал, но проблем не вижу. Все вычисления можно провести в поле рациональных дробей над $\mathbb{Q}(i)$ от двух комплексных параметров $z_1$, $z_2$, по модулю равных единице ($z_1$ отвечает за эллипс, $z_2$ позиционирует точку $C$ на этом эллипсе). Все точки ($A$, $B$, $C$, $M$, $N$, $K$, $L$) представляются в виде рациональных дробей от $z_1$, $z_2$, далее следует проверка концикличности точек $A$, $B$, $C$, $L$. Так что имеем типичную задачу рационального типа.

[Red_Herring]

Когда я написал

Цитата:

А с экспортом в pgf/tikz мы получаем приемлемый TeX файл

то я имел в виду именно приемлемый. Дело в том что в pgf/tikzможно точки задекларировать:

\begin{tikzpicture}
\node (A) at (0,0) {};
\node (B) at (1,0) {};
\draw (A)--(B);
\end{tikzpicture}
\end{document}

и в tkz-euclide (расширение pgf/tikz) есть команды \tkzDefPoint, \tkzDefPoints.

Задекларировав точки, можно дальше описывать картинку в терминах эих точек, которые можно легко менять. tkz-euclide может делать разные геометрические построения.

В то же время экспортируемая из GeoGebra картинка статична.

[Dimoniada]

Red_Herring, например для Гукова элиипса $\omega_g = {\frac 1 2}(z + \frac 1 z)$ ($ z\overline{z} \neq 1 $, с фокусами в $-1, 1$) координата точки пересечения касательных, проведённых в $z_1$ и $z_2$, есть $z_t = \frac {{z_1}z_2 + 1} {z_1 + z_2}$.
Думаю, этого уже достаточно для решения задачи. Конечно, кроме элементарных условий принадлежности одной прямой 3-х точек и 4-х точек одной окружности.

(Оффтоп)

Эх, как же легко стало проверять гипотезы в эл. геометрии и проводить доказательства при помощи всех этих программ... Вот раньше были времена....

[Sergic Primazon]

sopor в сообщении #827975 писал(а):

Дан эллипс, его фокусы $A, B$ и точка $C$ на нём. Прямые $CA$ и $CB$ пересекают эллипс второй раз в точках $M$ и $N$. В точках $M, N$ проведены касательные к эллипсу, они пересекаются в точке $K$. Далее, $L$ - середина отрезка $CK$. Доказать, что точки $A,B,C,L$ лежат на окружности.

(Задача с олимпиады мат-меха СПбГУ, 16.02.2014)

1. $KC \bot O_1O_2$

2. $CP+CQ=KC$