2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Снова интеграл.
Сообщение23.02.2014, 17:02 
$\int \frac{\cos^7x}{\sin^3x}dx$, как лучше всего взять этот интеграл?

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение23.02.2014, 17:05 
Аватара пользователя
Один косинус внести под дифференциал.

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение23.02.2014, 17:09 
B@R5uk в сообщении #829863 писал(а):
Один косинус внести под дифференциал.

Ну конечно)......а я вносил $-1/\sin^2x$

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение23.02.2014, 22:50 
Аватара пользователя
B@R5uk, у вас какой задачник? В Демидовиче (раздел интегрирование тригонометрических функций) основные замены явно перечислены.

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение23.02.2014, 22:59 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #829987 писал(а):
B@R5uk, у вас какой задачник?
Никакой. Именно эту задачу я решал "методом вдумчивого взгляда": внести косинус, основное тригонометрическое, очевидная замена, интеграл суммы степенных функций. Тут даже можно напрячься и выписать ответ без промежуточных выкладок. Чем мне нравятся неопределённые интегралы, так это тем, что их решение за частую процесс творческий, не смотря на вполне конкретный набор универсальных приёмов (которые зачастую оказываются очень громоздкими, если не заметить "изюминку").

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение23.02.2014, 23:01 
Аватара пользователя
Ой, я не тому вопрос задала. Конечно, вопрос про задачник был для ТС. Ему, видимо, не так хорошо удается "вдумчивый взгляд".

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение23.02.2014, 23:02 

(Оффтоп)

B@R5uk в сообщении #829863 писал(а):
Один косинус внести под дифференциал.

Можно даже и один синус; хотя это и извращение, но к успеху в конце концов приведёт.

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение24.02.2014, 16:18 
$\int \frac{\sin x}{\sin^2 x - 3\sin x + 2}dx$, а здесь как лучше поступить?.....с универсальной наверное получится, но там квадрат - получится очень громоздкое выражение.

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение24.02.2014, 17:44 
Аватара пользователя
$\dfrac t {t^2-3t+2}=\dfrac{1}{1-t}-\dfrac{2}{2-t}$

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение24.02.2014, 17:49 
Аватара пользователя
svv, не взлетит.

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение24.02.2014, 17:54 
Аватара пользователя
Э... Вы меня правильно поняли? Я не предлагаю подстановку $\sin x=t$.

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение24.02.2014, 17:58 
Аватара пользователя
Переменная меняется не только в подынтегральной функции, но и в дифференциале.

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение24.02.2014, 17:59 
Аватара пользователя
Да, при подстановке. А я не предлагаю какой-либо подстановки. Я не предлагаю заменить $\sin x$ на $t$.

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение24.02.2014, 18:11 
Аватара пользователя
Мммм, интересно. А что потом? Просто я не вижу красивого решения дальше.

 
 
 
 Re: Снова интеграл.
Сообщение24.02.2014, 18:20 
Аватара пользователя
Ну, main.c же пожаловался на квадрат, из-за которого получается громоздкое выражение при универсальной тригонометрической подстановке. Я эту (и только эту) проблему решаю:$$\int \frac{\sin x}{\sin^2 x - 3\sin x + 2}dx=\int \frac {dx}{1-\sin x} - 2 \int \frac {dx}{2-\sin x}$$И говорю: вот, квадратов больше нет. Теперь можете?

Действительно, например, в первом интеграле универсальная тригонометрическая подстановка приводит к интегралу$$\int\frac{du}{(u-1)^2}$$А это уже совсем не страшно.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group