Решить уравнение

[h8w8]

$ - \frac{{\pi x}}{{42}} = arctg(\ctg\left( {\frac{{11\pi x}}{{21}}} \right))$
В ответ записать наибольшее решение х.
Пошёл по такому пути:
сначала по определению обратной функции привёл уравнение к виду
\tg\left( { - \frac{{\pi x}}{{42}}} \right) = \ctg\left( {\frac{{11\pi x}}{{21}}} \right)
дальше по формуле приведения котангенс заменил на тангенс
\tg\left( { - \frac{{\pi x}}{{42}}} \right) = - \tg\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{11\pi x}}{{21}}} \right)
далее по формуле суммы тангенсов привёл уравнение к виду
$\frac{{\sin \left( {\frac{{\pi x}}{2} + \frac{\pi }{2}} \right)}}{{\cos \left( { - \frac{{\pi x}}{{42}}} \right)\cos \left( {\frac{{11\pi x}}{{21}} + \frac{\pi }{2}} \right)}} = 0$
и получил такие решения:
\begin{gathered}x = 2n - 1,n \in \mathbb{Z} \hfill \\x \ne 42k + 21,k \in \mathbb{Z} \hfill \\x \ne \frac{{21}}{{11}}m,m \in \mathbb{Z} \hfill \\ \end{gathered}
А теперь вопрос: как действовать дальше, нужно как-то объединить полученные решения, но как? Может следует пойти по другому пути решения?
P.s. wolframalpa наибольшим решением x считает 7

[mihailm]

h8w8 в сообщении #829825 писал(а):

...сначала по определению обратной функции привёл уравнение к виду
\tg\left( { - \frac{{\pi x}}{{42}}} \right) = \ctg\left( {\frac{{11\pi x}}{{21}}} \right)...

Это не равносильное преобразование, тангенсы двух неравных чисел могут быть равны

[galenin]

Неправильно Вольфрам считает: он просто остановился на числе 7. Задачу нужно понять и рассмотреть функцию

$y = \operatorname{\arctg}\left [\operatorname{\ctg}\left (\frac{11 \pi x}{21} \right ) \right ]+\frac{\pi x}{42} $

Стать равной нулю должна нижняя граница (нижние зубья пилы):



Видно, что $x_{max}=21$

[gris]

Вообще, подобные задачи часто встречаются, поэтому полезно представлять вид функций вида $\arctg(\tg x); \,\arcsin(\cos x)$ и тому подобных. Они периодические и пилообразные. Конечно, запоминать решение для каждого уравнения не имеет смысла, но просто для понимания.

[h8w8]

Тогда если ctg заменить на tg, верно ли то, что написано ниже?
$arctg\left( { - tg\left( {\frac{\pi }{2} + \frac{{11\pi x}}{{21}}} \right)} \right) = - \frac{\pi }{2} - \frac{{11\pi x}}{{21}}$
Если нет, то как преобразовать формулу вида arctg(tg(x))?

[galenin]

Здесь все очень просто. Функция

$y = \operatorname{\arctg}\left [\operatorname{\ctg}\left (\frac{11 \pi x}{21} \right ) \right ] $

это есть горизонтальная пила, нижние зубья которой доходят до уровня

$y=-\frac{\pi}{2}$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ar ... 2F21%29%29

Поэтому решаем уравнение:

$-\frac{\pi}{2}+\frac{\pi x}{42}=0$

откуда $x=21$

[h8w8]

А разве здесь не накладывается ограничение на арктангенс? (Если я не прав, то объясните почему, пожалуйста)
$-\frac{\pi}{2}<\operatorname{arctg}\alpha<\frac{\pi}{2}\Rightarrow -\frac{\pi}{2}<-\frac{\pi x}{42}<\frac{\pi}{2}$

$-21<x<21$
Тогда наибольшее целое значение x это 20

[galenin]

Не знаю, почему у вас 20 получилось. Я подставляю в

$y = \operatorname{\arctg}\left [\operatorname{\ctg}\left (\frac{11 \pi x}{21} \right ) \right ]+\frac{\pi x}{42} $

значение $x=21$ и получаю практически ноль:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ar ... pi*21%2F42

Если же подставлю $x=20$ , получу $\frac{\pi}{2}$
http://www.wolframalpha.com/input/?i=ar ... pi*20%2F42

[provincialka]

galenin в сообщении #830000 писал(а):

и получаю практически ноль:

Что значит "практически 0"? $\ctg(11\pi)$ не существует.

[galenin]

provincialka в сообщении #830012 писал(а):

galenin в сообщении #830000 писал(а):

и получаю практически ноль:

Что значит "практически 0"? $\ctg(11\pi)$ не существует.

Слева от 21 предел существует и равен точно нулю:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=li ... Cx%3D21%29


Если вас ответ не устраивает, то тогда $x_{max}=19$, но никак не $20$