Задача на геометрическую вероятность

[oxid]

Добрый день! ;) Помогите решить задачу.
Условие такое -

Цитата:

Случайная точка X равномерно распределена в правильном треугольнике с вершинами (a,0), (-a,0). (0,\sqrt{3}\cdot{a}). Найти вероятность того, что квадрат с центром X и сторонами длины b, параллельными осям координат, целиком содержится в этом треугольнике.

Я предполагаю, что положение центра квадрата ограничено правильным треугольником, который лежит внутри исходного, координаты его вершин у меня вышли - (0,a\sqrt{3} - b\sqrt{3}/2), (-a+b/2, 0), (a-b/2,0) Точки лежащие на оси x сдвинуты к началу координат на b/2, а точка лежащая на оси y сдвинута на \sqrt{3}b/2 вниз - (получается из правильного треугольника с основанием равным b).

Тогда вероятность получается равной отношению площадей.

У меня етсь какая-т ошибка в рассуждениях? С ответом не хочет сходиться совсем.

[mihailm]

Возьмите квадрат со стороной $b$ (пусть $b$ заметно меньше $a$), поставьте его на основание исходного треугольника и двигайте (не вертя) по контуру треугольника, какую линию опишет центр этого квадрата?

[oxid]

Я так примерно и делал - мне показалось что она очертит правильный треугольник.

[mihailm]

Еще раз сделайте.
Положили квадрат на основание, какие координаты центра квадрата?

[oxid]

Черт, ошибка в том, что центр на b/2 выше основания? ;)
А все остальное правильно - положение центра квадрата будет ограничено этим новым треугольником?

[mihailm]

Почему этим треугольником, вы расчеты то провели?
Двигайте теперь этот квадрат влево (или вправо) пока в треугольник не упретесь

[oxid]

Ну да, двигаю влево или вправо до упора, потом начинаю двигать вдоль бедра. Вдоль бедра он двигается до тех пор пока не упрется одновременно в два бедра двумя своими вершинами.
Получается когда мы его двигаем вдоль бедра центр проходит по прямой параллельной бедру.

Получается как - если его двигать влево до упора, то слева получится маленький прямоугольный треугольник. Угол при одной из вершин 30 градусов, один катет, который совпадает с квадратом, равна b, второй катет лежит на исходном треугольнике, его длина получается b / \sqrt{3}
справа ситуация аналогичная. Длина этго катета дает координаты двух точек - (-a+b/\sqrt{3}, b/2), (a-b/\sqrt{3}, b/2)
Если двигать квадрат вдоль бедра до упора, то получается равнобедренный треугольник у которого длина основания равна b, угол, котоырй сопадает с углом исходного треугольника, равен 60 градусов, Из него находим высоту - b/(2\sqrt{3}) И отсюда находим координаты вершины треугольника - (0, a\sqrt{3} - b/(2\sqrt{3}))

Из этих трех точек получается треугольник, внутри которого можно расположить центр квадрата, так чтобы он не выходил за границы исходного треугольника (наврное ).

Да, значально я посчитал все неправильно