Батарейка и два конденсатора

[x51]

zer0 в сообщении #824622 писал(а):

x51 в сообщении #824593 писал(а):

Через внутренее сопротивление источника, которое равно нулю.

Ачуметь! (редко встречается такой бред)

А разве вы не знаете, что у идеального источника напряжения внутреннее сопротивление равно нулю?

[zer0]

Разуйте глазки и протрите - где тут ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ соединение (хоть с нулевым сопротивлением источника, хоть с ненулевым)?

По часовой стрелке: Источник (+) - конденсатор1 - конденсатор2 - источник (-). В школе нас учили, что это - последовательное соединение.

[zer0]

x51 в сообщении #824629 писал(а):

zer0 в сообщении #824622 писал(а):

x51 в сообщении #824593 писал(а):

Через внутренее сопротивление источника, которое равно нулю.

Ачуметь! (редко встречается такой бред)

А разве вы не знаете, что у идеального источника напряжения внутреннее сопротивление равно нулю?

Знаю, конечно. И не только это . А слово "бред" относится к "через", поскольку никакого параллельного соединения я не вижу.

[OlegCh]

x51 в сообщении #824445 писал(а):

А что дальше? Система идеальна, нет потерь, значит во всех случая напряжение будет равным $C_1 = C_2 = U$

А второй закон Кирхгофа как же? Имеем замкнутый контур, а сумма напряжений получается не равной нулю...

[OlegCh]

Ну, что-то нет желающих продолжить обсуждение...
Ладно, придется написать решение, чтобы уж с этим покончить. А заодно показать, что "физически-нереализуемая система и некорректная коммутация" [(с)profrotter] ничего общего с этой задачей не имеет.

Рассмотрим первый случай - когда конденсатор С1 заряжен до напряжения источника, а конденсатор С2 разряжен. Пусть вначале ЭДС источника равна 0. Тогда он превращается просто в перемычку и конденсаторы оказываются подключенными друг к другу по замкнутому контуру (как справедливо заметили выше, это можно назвать параллельным соединением, хотя для двух элементов в контуре понятия параллельное и последовательное соединение совпадают). Как было показано в задаче про два конденсатора без батарейки (тыц) установившееся напряжение на конденсаторах в этом случае равно $U'=\frac{C_1}{C_1+C_2}U$ и соответствующий суммарный заряд "между" конденсаторами равен $q'=C_1U$ (см. рис.)

Если мы теперь разорвем цепь в том месте, где на рисунке обозначен источник напряжения (которого пока нет), то мы будем иметь два последовательно соединенных конденсатора с нулевым напряжением между крайними обкладками. Другими словами, для источника они представляют собой просто два последовательных разряженных конденсатора. Соответственно мы их так и будем пока рассматривать. Включаем источник напряжения $U$. На конденсаторах возникают напряжения $U''_1$ и $U''_2$, а на обкладках появляется заряд $q''$ (про $U'$ и $q'$ мы пока забыли!):

$$U_1''=\frac{C_2}{C_1+C_2}U,$$

$$U_2''=\frac{C_1}{C_1+C_2}U,$$

$$q''=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}U.$$

Вот теперь вспоминаем про $U'$ и $q'$ и записываем окончательные реальные напряжения и заряды на конденсаторах в соответствии с направлением стрелочек и знаков зарядов:

$$U_1=U''_1-U'=\frac{C_2}{C_1+C_2}U-\frac{C_1}{C_1+C_2}U=\frac{C_2-C_1}{C_1+C_2}U,$$

$$U_2=U''_2+U'=\frac{C_1}{C_1+C_2}U+\frac{C_1}{C_1+C_2}U=\frac{2C_1}{C_1+C_2}U,$$

и, соответственно,

$$q_1=C_1U_1=\frac{C_1(C_2-C_1)}{C_1+C_2}U,$$

$$q_2=C_2U_2=\frac{2C_1C_2}{C_1+C_2}U.$$

На всякий случай проверим выполнение ЗСЗ. С учетом знаков суммарный заряд "между" конденсаторами:

$$q_{\Sigma }=q_2-q_1=\frac{2C_1C_2}{C_1+C_2}U-\frac{C_1(C_2-C_1)}{C_1+C_2}U=\frac{2C_1C_2-C_1C_2+C_1^2}{C_1+C_2}U=\frac{C_1C_2+C_1^2}{C_1+C_2}U=C_1U=q'.$$

Для второго случая, когда оба конденсатора предварительно заряжены до напряжения $U$, решение аналогично. В этом случае получается

$$U_1=-\frac{C_1}{C_1+C_2}U,$$

$$U_2=\frac{2C_1+C_2}{C_1+C_2}U.$$

И никакой физической нереализуемости...

[profrotter]

OlegCh в сообщении #826452 писал(а):

А заодно показать, что "физически-нереализуемая система и некорректная коммутация" [(с)profrotter] ничего общего с этой задачей не имеет.

OlegCh в сообщении #826452 писал(а):

И никакой физической нереализуемости...

И никакого понимания физической сути рассматриваемых явлений.

Система, которую Вы рассматриваете является физически нереализуемой потому, что состоит из физически нереализуемых элементов: идеального (без внутреннего сопротивления) источника напряжения и двух идеальных конденсаторов (не учтена проводимость утечки и сопротивление выводов).

Коммутации в вашем случае являются некорректными потому,что предполагают нарушение законов коммутации: с одной стороны в момент коммутации напряжение на ёмкостном элементе должно быть неизменным, а с другой - должно изменится скачком при подключении источника напряжения. Это естественное следствие физической нереализуемости рассматриваемой системы.

Поэтому вам и советовалось ввести в задачу последовательное сопротивление и рассматривать переходный процесс. Но Вы легко манипулируете притянутыми за уши ничем необоснованными утверждениями и получаете ответ (подробно проверять ваше решение мне лениво к тому же оно касается более лёгкой задачи), что вас и спасает от проблемы физической нереализуемости и некорректных коммутаций в этой задаче.

[zer0]

profrotter в сообщении #826705 писал(а):

И никакого понимания физической сути рассматриваемых явлений.

Имхо, кто-то другой не понимает суть рассматриваемых явлений

Любая школьная физическая задача имеет дело с идеализированными объектами в некоторой приближенной модели физического явления. Потому, что модель должна отражать суть изучаемых явлений. И в этой модели могут быть идеальные напряжения, идеальные кондесаторы и т.п.

Если господин profrotter напряжется , введет малое сопротивление и сделает правильный расчет (вместо пустых бла-бла), то он с удивлением обнаружит, что при стремлении этого сопротивления к нулю ответ получится, как у OlegCh.

[profrotter]

zer0 в сообщении #826732 писал(а):

идеальные напряжения

Вы не находите странным, что мне говорит о понимании сути физических явлений человек, который не владеет элементарной терминологией на уровне средней школы?

zer0 в сообщении #826732 писал(а):

Любая школьная физическая задача имеет дело с идеализированными объектами в некоторой приближенной модели физического явления. Потому, что модель должна отражать суть изучаемых явлений.

Это никак не отменяет того, что в данной задаче рассматривается физически нереализуемая система.

zer0 в сообщении #826732 писал(а):

введет малое сопротивление и сделает правильный расчет (вместо пустых бла-бла), то он с удивлением обнаружит, что при стремлении этого сопротивления к нулю ответ получится, как у OlegCh.

Именно это я и предлагал. Ввести сопротивление, после чего при необходимости (если ответ от него будет зависеть) устремить его к нулю. Моему совету OlegCh таки последовал, но в другой теме, где другие участники форума помогли таки разобраться с анализом переходного процесса и разубедили автора темы в уверенности, что такой подход даёт неверный результат.

Теперь о понимании сути. В решении задачи OlegCh, вместо того, чтобы рассматривать коммутацию на источник, рассматривает "для начала" ЭДС равной нулю. То есть по факту вместо подключения источника осуществляет сначала закорачивание по входу, изменяя начальные условия задачи и разряжая энергоёмкие элементы цепи, а потом уже коммутацию на источник. Вот этой сути рассматриваемых явлений я не понимаю - признаюсь честно. Можете обосновать?

zer0 в сообщении #826732 писал(а):

Если господин profrotter напряжется

Я не господин - я товарищ! Уговорили - напрягаюсь.

Цепь после коммутации описывается уравнением:

$$iR+\frac{1}{C_1}\int idt+\frac{1}{C_2}\int idt=U$$

с начальными условиями $u_1(0)=U,u_2(0)=0$. Выполнив преобразование Лапласа, запишем:

$$I(p)R+I(p)\frac{1}{pC_1}-\frac{u_1(0)}{p}+I(p)\frac{1}{pC_2}-\frac{u_2(0)}{p}=\frac{U}{p}.$$

Обозначив $\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$ или $C=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}$ - результирующая ёмкость при последовательном соединении ёмкостных элементов $C_1,C_2$, $\tau=RC$ - постоянная времени, получим

$$I(p)=C\frac{u_1(0)+u_2(0)+U}{1+p\tau},$$

откуда

$$i(t)=C\frac{u_1(0)+u_2(0)+U}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}=(u_1(0)+u_2(0)+U)\frac{C}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}.$$

Напряжения на ёмкостных элементах:

$$u_1(t)=u_1(0)-\frac{1}{C_1}\int\limits_0^t idt=u_1(0)-(u_1(0)+u_2(0)+U)\frac{C}{C_1}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}),$$

$$u_2(t)=u_2(0)-\frac{1}{C_2}\int\limits_0^t idt=u_2(0)-(u_1(0)+u_2(0)+U)\frac{C}{C_2}(1-e^{-\frac{t}{\tau}}).$$

В стационарном режиме $t\to\infty$

$$u_1(\infty)=u_1(0)-(u_1(0)+u_2(0)+U)\frac{C}{C_1}=u_1(0)-(u_1(0)+u_2(0)+U)\frac{C_2}{C_1+C_2},$$

$$u_2(\infty)=u_2(0)-(u_1(0)+u_2(0)+U)\frac{C}{C_2}=u_2(0)-(u_1(0)+u_2(0)+U)\frac{C_1}{C_1+C_2}.$$

При заданных начальных условиях:

$$u_1(\infty)=U-2U\frac{C_2}{C_1+C_2},$$

$$u_2(\infty)=-2U\frac{C_1}{C_1+C_2}.$$

На всякий случай проверим уравнение баланса напряжений:

$$u_1(\infty)+u_2(\infty)+U=0.$$

Совпадают решения, но первое нуждается в обосновании. Причём аналогичная задача была решена на форуме за несколько дней до появления этой темы. Однако автор этой темы изменил слегка начальные условия и твёрдо уверовал, что тут у него:

OlegCh в сообщении #824971 писал(а):

Похоже, но немножко не то.

Собственно подтягиваемся, задаем свои $u_1(0),u_2(0)$ и ЭДС источника и снова рассматриваем, как немножко не то.

[profrotter]

OlegCh, как-то не охотно Вы принимаете участие в обсуждении. Вроде теперь есть чего обсуждать:

profrotter в сообщении #826827 писал(а):

В решении задачи OlegCh, вместо того, чтобы рассматривать коммутацию на источник, рассматривает "для начала" ЭДС равной нулю. То есть по факту вместо подключения источника осуществляет сначала закорачивание по входу, изменяя начальные условия задачи и разряжая энергоёмкие элементы цепи, а потом уже коммутацию на источник. Вот этой сути рассматриваемых явлений я не понимаю - признаюсь честно. Можете обосновать?

Ну вот, скажем, моё обоснование. Будем рассматривать некоторую линейную цепь порядка $n$, в качестве воздействия будем задавать напряжение $u_{\text{вх}}$ между какими-либо двумя узлами, а в качестве реакции рассматривать напряжение $u_{\text{вых}}$. Пусть стоит задача анализа переходного процесса при подключении источника $e(t)$. Назовём её задача 1. Для цепи запишем дифференциальное уравнение

$$b_nu^{(n)}_{\text{вых}}+b_{n-1}u^{(n-1)}_{\text{вых}}+...+b_0u_{\text{вых}}=a_ne^{(n)}(t)+a_{n-1}e^{(n-1)}(t)+...+a_0e(t)$$

и определим соответствующие начальные условия:

$$u^{(i)}_{\text{вых}}(0)=u_{0i}, i=0,...,n.$$

Рассмотрим две вспомогательные задачи:
Задача 2:

$$b_nu^{(n)}_{\text{вых}}+b_{n-1}u^{(n-1)}_{\text{вых}}+...+b_0u_{\text{вых}}=0$$

$$u^{(i)}_{\text{вых}}(0)=u_{0i}, i=0,...,n.$$

Задача 3:

$$b_nu^{(n)}_{\text{вых}}+b_{n-1}u^{(n-1)}_{\text{вых}}+...+b_0u_{\text{вых}}=a_ne^{(n)}(t)+a_{n-1}e^{(n-1)}(t)+...+a_0e(t)$$

$$u^{(i)}_{\text{вых}}(0)=0, i=0,...,.n$$

Если сложить решения задач (2) и (3), то получится решение задачи (1). Такое решение единственное.

Сказанное означает, что формально можно считать, что при подключении источника параллельно и независимо происходят два процесса: один связан с воздействием источника на рассматриваемую цепь при нулевых начальных условиях (задача 3), другой - процесс разрядки энергоёмких элементов цепи, который происходит при закорачивании её входных зажимов (задача 2). Результирующий процесс формально является их суперпозицией.

То есть то, что Вы сделали, решая задачу, делать можно, но, извините, для обоснования такого подхода, по моему мнению, требуется знание курса дифференциальных уравнений. А если этот курс знать, простите, решение через диф. ур. даже более общей задачи занимает пять строчек, что несоизмеримо компактнее вашего "школьного", разбросанного аж на две темы. Если Вы заявляете, что ваше решение "школьное", то этому самому подходу следует дать и "школьное" обоснование.

[OlegCh]

Метод решения задач с источниками напряжения/тока путем разбиения схемы на две - с источником и без и дальнейшей их суперпозиции - известный прием в ТОЭ (теоретические основы электротехники - курс, который нам читали в институте; возможно в разных ВУЗах он назывался по-другому, также как и принятые традиции обозначения направления напряжений и токов - одни рисуют сонаправленно, другие противонаправленно, сути дела это не меняет). Зачем его здесь обосновывать, эта тема не учебник по ТОЭ.

[profrotter]

OlegCh в сообщении #827548 писал(а):

Метод решения задач с источниками напряжения/тока путем разбиения схемы на две - с источником и без и дальнейшей их суперпозиции - известный прием в ТОЭ (теоретические основы электротехники - курс, который нам читали в институте; возможно в разных ВУЗах он назывался по-другому, также как и принятые традиции обозначения направления напряжений и токов - одни рисуют сонаправленно, другие противонаправленно, сути дела это не меняет). Зачем его здесь обосновывать, эта тема не учебник по ТОЭ.

Если предполагается решение вашей задачи методами ТОЭ, то во-первых она некорректно поставлена по причинам, на которые вам уже были указаны выше, а во-вторых решение должно проводится путём исследования переходного процесса, то есть в том виде, в котором его представил я. Неплохо бы было привести ссылочку на место в учебнике, где рассматривается метод, о котором Вы говорите. Если Вы ссылаетесь на метод наложения, то я лично не встречал его формулировку с учётом начальных условий, подобную той, которую выполнили мы здесь.

OlegCh в сообщении #824275 писал(а):

В любом учебнике при рассмотрении соединения конденсаторов всегда без зазрения совести цепочку последовательно соединенных конденсаторов подключают непосредственно к источнику напряжения без всяких там сопротивлений, потом гоняют заряд туда, заряд сюда и получают верный результат для эквивалентной емкости. Здесь же фактически то же самое, только начальные условия немного другие. Разве нет? ;)

Вы когда-нибудь обращали внимание на то, что в этих учебниках не пишут "идеальные конденсаторы"? Там пишут просто "конденсаторы". То есть даже и в простых школьных учебниках рассматривают по сути корректную задачу, просто не отвлекаются на эти тонкости. Просто конденсатор отличается от идеального конденсатора тем, что его простейшей элекротехнической моделью будет последовательное соединение идеального конденсатора и сопротивления. В зависимости от конкретной задачи модель конденсатора может изменяться. В некоторых случаях учитывают утечку диэлектрика параллельным резистивным элементом, может быть и потери на переполяризацию диэлектрика, на больших частотах может возникнуть необходимость учесть, скажем, индуктивность выводов и тп. А Вы что учудили в начале темы:

OlegCh в сообщении #823685 писал(а):

Есть идеальный источник напряжения $U$ и два идеальных конденсатора с емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$.

Теперь о действительно самом смешном в этой и связанных темах. Задача легко одолевается всяким школьником, путём составления и решения системы из двух линейных уравнений. Школьник рисует простую картинку, выбирает условно-положительные направления напряжений:

Для изолированных обкладок конденсаторов записываем закон сохранения заряда:

$$q_1(0)-q_2(0)=q_1(\infty)-q_2(\infty),$$

где $q_{1,2}(0)=C_{1,2}u_{1,2}(0)$ - заряды обкдадок до коммутации (отмечены на рис), $q_{1,2}(\infty)=C_{1,2}u_{1,2}(\infty)$ - заряды обкладок [в стационарном режиме] после коммутации. Заряды рассматриваются с учётом знака. Иначе

$$C_1u_1(0)-C_2u_2(0)=C_1u_1(\infty)-C_2u_2(\infty).\eqno (1)$$

[В стационарном режиме] после коммутации должен выполняться баланс напряжений:

$$u_1(\infty)+u_2(\infty)=-U.\eqno (2)$$

Решение записанной системы уравнений (1)-(2) имеет уже знакомый нам вид:

$$u_1(\infty)=u_1(0)-(u_1(0)+u_2(0)+U)\frac{C_2}{C_1+C_2},$$

$$u_2(\infty)=u_2(0)-(u_1(0)+u_2(0)+U)\frac{C_1}{C_1+C_2}.$$

Вот, собственно, у нас есть два решения. Одно, требуемое в рамках курса ТОЭ, другое - школьное. OlegCh, какое место среди этих двух крайностей занимает ваше "решение"? Находите ли Вы какие-нибудь его недостатки? В чём Вы видите преимущества вашего подхода к решению задачи?

[Amw]

profrotter в сообщении #826827 писал(а):

...
Уговорили - напрягаюсь.

profrotter в сообщении #826827 писал(а):

Выполнив преобразование Лапласа, запишем:

Я методом Лапласа уже не вспомню, как дифуры решаются...
Хотя без резистора задачка физически не реализуема, математически - вполне. Через резистор с сопротивлением ноль, при замыкании потечет ток бесконечность и энергии выделится столько, сколько надо...
Суть в том, что через конденсаторы всегда течет одинаковый ток и заряды, соответственно, изменятся на одну и ту же величину. (Равны токи ВСЕГДА - равны и их интегралы по времени) Значит в установившемся состоянии сумма напряжений на конденсаторах равна напряжению источника, а заряд на каждом конденсаторе отличается от начального на одну и ту же величину.
Отсюда и простое решение... Без дифуров.

-- 21.02.2014, 23:33 --

profrotter в сообщении #827601 писал(а):

Просто конденсатор отличается от идеального конденсатора тем, что его простейшей элекротехнической моделью будет последовательное соединение идеального конденсатора и сопротивления.

Ещё индуктивность... А лучше сразу реальный конденсатор представить в виде длинной линии и определить волновым сопротивлением, электрической длиной и сопротивлением потерь... Точнее будет.

[warlock66613]

Amw в сообщении #829305 писал(а):

Хотя без резистора задачка физически не реализуема, математически - вполне. Через резистор с сопротивлением ноль, при замыкании потечет ток бесконечность

Нет, всё равно без резистора нельзя. При попытке эту задачу решить вы получите деление на ноль, а на ноль делить, как известно, нельзя. Единственный вариант "реализовать математически" эту задачу - это добавить резистор с бесконечно малым сопротивлением. Только в таком случае понятие бесконечно большого тока обретает (математический) смысл.

[Amw]

warlock66613 в сообщении #829306 писал(а):

Нет, всё равно без резистора нельзя.

Я же решил...

[warlock66613]

Amw в сообщении #829313 писал(а):

Я же решил...

Вот только ток у вас получился бесконечным. А такого числа - бесконечность - не существует. Значит неправильно решили.